Re: [理工] [工數]-ODE

[mike7689 (帥啊~!老皮~!!)]

※ 引述《a1133333 (阿傑)》之銘言：
: 請問各位工數高手這如何計算  幫幫忙
: y'+(3/(100+2t))y=10  y(0)=5
: 還有


: ∫e^(-x^2)dx   從0積到無限大
: 請幫忙  謝謝

樓上的大大已經回了一階線性ODE了...剩下第二題積分這盤小菜我來啃XD


原式要求:∫e^(-x^2)dx ,x=0~∞ ,當然這等於:(1/2)∫e^(-x^2)dx,x=-∞~∞

補充一下: 之所以可以弄成"一半"是因為exp(-x^2)是偶函數...

令I= ∫e^(-x^2)dx , x=-∞~∞

當然: I= ∫e^(-y^2)dy , y= -∞~∞

則==> I*I = ∫∫exp[-(x^2+y^2)]dx*dy ,現在要將它轉換成平面極座標(r,θ)的樣子

得到: I*I = ∫∫exp(-r^2)r*dr*dθ ,其中,r^2 = x^2 + y^2這應該沒有問題,

而dr*dθ前面多出來的r是由座標轉換的Jacobian行列式來的...

∴I*I = ∫r*exp(-r^2)dr *∫dθ,積分上下限是全部空間:θ=0~2π, r=0~∞

,==> I*I=π ==> I = √π, (1/2)I= (1/2)√π  打完收工...


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◆ From: 59.121.1.207
※ 編輯: mike7689        來自: 59.121.1.207         (07/13 11:48)
※ 編輯: mike7689        來自: 59.121.1.207         (07/13 11:48)
推 PuNkChild:你啃的是主菜XD
→ mike7689:哈哈XD
→ mike7689:剛剛差點中陷阱~原po要求0到無限大(半個全空間)...XD
推 roud:淚推,雖然還沒學到向量QQ
※ 編輯: mike7689        來自: 59.121.6.45          (07/13 20:57)
推 gucciisgod:不好意思 可以請問一下為何要乘I= ∫e^(-y^2)dy?
推 gucciisgod:噢~我看懂了 這解法實在太高招了 真佩服
推 jacky00205:乘I=積分 e6^(-y^2)dy  是為了用球座標來算！ 歐亮亮