Re: [理工] [工數]-ode

[suker (..)]

※ 引述《a1133333 (阿傑)》之銘言：
: 1.∫e^(x^2)dx  要怎麼積分
: 2. y''+y=secx
: 老師的答案:c1cosx+c2sinx-(cosx)(ln∣secx+tanx∣)
: 我算的答案:c1cosx+c2sinx-(cosx)(ln∣secx+tanx∣+sinx)


這個方法參數變更法
它可以用矩陣方式  或者用另一種直接積分 我比較喜歡用矩陣

令yp=ψ1  *  cosx   +  ψ2 *  sinx



cosx=u和sinx=v  是已知的yh解 若假設為C1*u +C2*v
yp可設 =u*ψ1 +v*ψ2



   [u  v ]  [(ψ1)']  = [  0 ]
   [u' v']  [(ψ2)']    [f(x)]

用矩陣方式解
同理3次以上 yh=C1*u +C2*v+C3*w

[u  v  w ] [(ψ1)']     [0   ]
[u' v' w'] [(ψ2)'] =   [0   ]
[u" v" w"] [(ψ3)']     [f(x)]


.....


yh =c1cosx+c2sinx
yp=(ψ1)*cosx +(ψ2)*sinx

[  cosx         sinx]   [(ψ1) ']                 [0]
[ -sinx         cosx]   [(ψ2) ']      =          [secx]



cosx*(ψ1) '   +  sinx*(ψ2) '  = 0   ----------1
-sinx*(ψ1) '  +  cosz*(ψ2) '  = secx   ----------2

                              (sinx)^2
1* (sinx/cosx) +2  ===>   [--------------- +  cosx ] *(ψ2) '  =secx
                               cosx


(ψ2) ' = 1   ===>  (ψ2) =x

(ψ1) ' =-tanx   ===>  (ψ1) =ln ｜cosx｜


y=yh+yp  =  =c1*cosx+c2*sinx  +cosx*ln ｜cosx｜+x*Sinx

這題剛好我有筆記  所以我確定正確答案
2個答案應該是有問題

幫原PO修正一下f(x)=tanx

                      sinx
(ψ2) '  =   cosx * ----------  =sinx
                       cosx
 (ψ2)=-cosx



 cosx*(ψ1)'  +(sinx)^2  =0

                    -(sinx)^2  =(cosx)^2 -1

                  -(sinx)^2
(ψ1)'  =    -------------------  = -secx +cosx
                    cosx


(ψ1) =  -ln ｜secx+tanx｜ +sinx


y=yh+yp= c1*cosx+c2*sinx  +  cosx* [-ln ｜secx+tanx｜ +sinx]

       -sinx*cosx



================> c1*cosx+c2*sinx  +  cosx* [-ln ｜secx+tanx｜]


: 3.4y''+36y=csc3x

    y'' + 9y =  (csc3x)/4

: 老師的答案:c1cos3x+c2sin3x-(1/12)xcos3x+(1/36)(sin3x)(ln∣sin3x∣)
: 我算的答案:c1cos3x+c2sin3x-(1/3)xcos3x+(1/9)(sin3x)(ln∣sin3x∣)
: 請各位工數高手幫幫忙  看是我錯還是答案錯


這題要把4除掉  這個方法是最高項系數為1
yh  =c1cos3x+c2sin3x


yp =(ψ1)*cos3x +(ψ2)*sin3x


[   cos3x    sin3x]  [(ψ1)']  =  [ 0       ]
[-3*sin3x   3cos3x]  [(ψ2)']     [(csc3x)/4]



    cos3x *(ψ1)'  +sin3x *(ψ2)'   =0  -----------------(1)

  -3*sin3x *(ψ1)' + 3cos3x*(ψ2)'   =(csc3x)/4  ----------(2)


(1)*3sin3x  +(2)*cos3x


    [3*(sin3x)^2 *(ψ2)'   + 3 (cos3x)^2   ]  (ψ2)'  =  (1/4) cot3x

               (ψ2)' =  (1/12) cot3x    ==> (ψ2)= (1/36) *ln ｜sin3x｜

  (ψ2)' =  (1/12) cot3x  帶回(1)




  cos3x *(ψ1)'  +  sin3x *  (1/12) cot3x  =0


    cos3x *(ψ1)'  =  -(1/12) cos3x


          (ψ1)'  =  -(1/12)    ==>    (ψ1) =  -x/12



y=yp+yh=c1cos3x+c2sin3x-(1/12)xcos3x+(1/36)(sin3x)(ln∣sin3x∣)


結論老師是對的


: 4.(x-1)y''-xy'+y=0  這題一直解不出來   答案:c1e^x+c2x



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→ mike7689:Lagrange參數變換法,課本證明我跳過,我直接背結果...XD
※ 編輯: suker           來自: 118.169.74.174       (07/15 20:29)
→ suker:我終於知道第2提錯在哪?   原來是=tanx  XD
→ suker:原PO打錯 差很多 難怪跟筆記對不到
※ 編輯: suker           來自: 118.169.74.174       (07/15 21:55)
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