※ 引述《a1133333 (阿傑)》之銘言：
: 1.(x^2)(x+1)y''-x((x^2)+4x+2)y'+((x^2)+4x+2)y=0
: 請問該如何假設才會比較好做
嗯~代數運算符號冗長...我簡單說明...
這題試著用因變數變換法，也就是把y 換掉...
同除以a2(y''前面的東西)，而P(x)=a1/a2 ; Q(x)= a0/a2
用齊性解判斷條件P + xQ = 0 得知此ODE有一個齊性解yh = x...
令y = x*v代回原式...整理後會得到: xv'' + (P*x + 2)v' = 0 這是一道v'(x)的
一階線性ODE,變數分離移項整理+積分: v' = c1*exp(-∫P(x) dx)/(x^2)
兩端再積分一次就可以得到v(x)
代入y=xv= c1*x∫[exp(-∫Pdx)/(x^2)]dx + c2*x 即為所得...打完收工...
: 2.y''+2(y')^2=0
: 我算的答案:(1/2)(ln∣2x+c1∣)+c3 或 y=c
: 老師的答案:(1/2)(ln∣c1+c2∣) 或 y=c
: 3.(x^3)y'''-2xy''+3xy'-3y=x^2
: 答案是:y=c1x+c2x*lnx+c3(x^3)-x^2
: 但是我卻算不出-x^2
: 以下是我的做法 請幫糾正 謝謝
: yh(x)=c1x+c2x*lnx+c3(x^3)
: let yp(x)=u1x+u2x*lnx+u3(x^3)
: (u1)'x+(u2)'x*lnx+(u3)'(x^3)=0
: (u1)'+(u2)'(lnx+1)+(3u3)'(x^2)=0
: (u2)'(1/x)+6(u3)'x=x^2
: 解方程式
: u1'= (1/2)(x^3)(lnx)+(x^3)/4 u1=(x^4)/16+(1/8)(x^4)lnx-(1/32)(x^4)
: u2'=-(1/2)(x^3) u2=-(1/8)(x^4)
: u3'=x/4 u3=(x^2)/8
: yp(x)=(1/32)x^5
: 請問是我哪裡做錯了 以致答案錯了 請幫幫忙 謝謝
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