作者mike7689 (帥啊~!老皮~!!)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [理工]-ODE特解
時間Sun Jul 18 23:56:49 2010
※ 引述《roud (對愛絕望)》之銘言：
: 題目: y'' + 3y' + 2y = ( 1 + exp(x) )^(-1)
: 特解答案: exp(-2x) (1 + exp(x) ) [ ln(1 + exp(x) ) - 1]
: 幫我解特解就好~
: 感激不盡 :)
前面有大大用了逆運算子...現在我來用Lagrange參數變換法騙P幣+功力展現(溜XD)
謎之聲:"咦? 不是因為mike7689不熟悉逆運算子嗎@@?!" (踢飛!)
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嗯~過程嘛...
首先對於常係數線性ODE而言，令y=exp(mx)代回ODE可得到特徵方程式，解出m，就可以
得到該ODE的兩個獨立的齊性解y1=exp(-x) ; y2=exp(-2x)
現在找出Wronskian行列式的值: W(y1,y2)= │y1 y2 │= -exp(-3x)
│y1' y2'│
原ODE特解可令為: yp = ψ1(x)*y1 + ψ2(x)*y2
Lagrange參數變換法證明冗長，容我偷懶直接背結論...XD
其中: ψ1' = (-y2/W)*R ; ψ2' = (y1/W)*R ; 而R(x)= 1/(1+exp(x)) 這應該都沒問題
各自對x積分可以得到ψ1 、ψ2...
ψ1 = ∫[exp(x)/(1+exp(x))]dx = ln |1+exp(x)|
ψ2 = -∫[exp(2x)/(1+exp(x))]dx ,令y=exp(x)做變數代換之後可以得到:
ψ2 = -∫(y/(1+y))dy = -y + ln |1+y| = -exp(x) + ln |1+exp(x)|
代回原來令的yp即為答案...打完收工XD
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ps.其實，我真的沒有練習逆運算子，只是單純覺得多學一種方法多花腦力...
這部分我只有練待定係數法&Lagrage參數變換法而已...待定係數法我認為比較直覺；
而Lagrange參數變換法我認為比較"好背"(結論)...= =
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◆ From: 59.121.3.241
推 Tall781218:那我...... 07/18 23:58
推 w0320: 幫忙把齊性解和非齊性解加起來成為通解好了 07/19 00:03
推 shinyhaung:1樓你還有待定係數法 07/19 00:04
噓 Tall781218:抱歉不是虛版主 你待定給我看0.0 07/19 00:06
→ mike7689:嗯~這個真的不能"待定係數法"... 07/19 00:08
※ 編輯: mike7689 來自: 59.121.3.241 (07/19 00:18)
→ ntust661:可以待定係數 07/19 17:01
→ ntust661:只是要先知道如何假設解而已 07/19 17:02
推 Tall781218:這題輸入項有無限多個微分項 應該不行XDDD 07/19 18:56
→ roud:看來你真的很缺幣 ㄎㄎ 07/19 19:52
→ mike7689:缺超大的~之前才用1000P跟112的鄉民收了期中考題XD 07/19 20:05
→ roud:原來還有這招 07/20 01:23
→ mike7689:對阿~要不是TEST板不算P幣,我早狂po了XD 07/20 01:48
推 G41271:就算有背參數變異法的公式 還是逆運算子較快 07/24 00:01
→ mike7689:逆運算子的用法~我記不來...XD 07/24 09:48