推 ichleibeqbi:感謝大大這麼詳細的解答 我懂了!!感謝~ 08/12 23:17
※ 引述《ichleibeqbi (cutie)》之銘言：
: 題目：Solve the following differential equation
: x^2 * (dy/dx) + 2y + x = 0
: 我是有解出來
: 只是有個地方不解
: 起初
: 我是先同除 x平方
: 之後找出積分因子 = exp(-2/x)
: 同乘 合併 兩邊做積分
: 但是右邊的積分其實是積不出來的
: 我用了一次 部分積分
: 之後會有一項是沒積完的
: 我去對答案發現答案不是這樣寫
: 答案是->積不出來 所以就沒用部分積分展開 只接掛積分符號
: 只要把exp(-2/x)同除
: 就得到答案 如下
: y = C*exp(2/x) - exp(2/x)* 積分[exp(-2/t) * (1/t) * dt] 積分範圍從負無窮到x
: (抱歉!積分符號不會打= = 我寫國字表示)
: 我不懂為何要把x置換成t?
: 然後變成有範圍的積分?
: 有勞高手們~
: 謝謝 請多多指教~
因為題目為一階ODE 答案只能有一個積分常數 C*
若那積分寫成沒上下限的不定積分 出來的答案會差另一個常數k
為避免有答案上之誤差 所以改以定積分表示
另外為何要把x換成t 見以下的例說
2 x
∫2xdx= x +k =∫2tdt +k
0
因此寫成定積分型式可以除去那未知常數 避免各方所解出的解答有不一致性
將x改t的原因是避免上下限函數與被積分函數有相同變數 避免某些運算會混淆
如Leibniz微分法 等等
這是我的看法 請指教
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