※ 引述《MarcusWill (天下第二控衛)》之銘言：
: 這是黃子嘉書上的證明，下面標色的地方看不太懂
: a是那邊跑出來的? 為什麼a 的範圍是他寫的那樣呢?
: 因為a看不懂，所以a在mod p 下的乘法反元素我也一起看不懂了
: 希望有人能替我解答，感謝
: wilson's theorem
: -----------------------------------------
: 定理：假設p為一質數，則(p-1)!≡-1(mod p)
: -----------------------------------------
: pf.
: 當p=2或3時顯然成立
: 考慮p>3，因為gcd(a,p)=1, for any a ∈Z , 2≦a≦p-2
: 所以唯一存在 a^-1∈Z , 2≦a^-1≦p-2
: .
: .
: .
: 以下省略
以下是個人解讀
在他的前面有一個定理 a為a在 mod p 下的乘法反元素 <=> a≡正負1 (mod p)
因為 a 在 mod p 下的範圍為 0~p-1
但是因為 0≡0 (mod p) 且若 a = 1 或 a = p-1 的話
則 a≡正負1 (mod p)
根據上面的定理 a 為 a 在 mod p 下的乘法反元素
也是說如果 a = 1 或 p-1 則他的乘法反元素就是自己
因此將 a 的範圍限定在 2~p-2
我絕得應該是為了方便證明這個定理所以在把範圍限定在這
至於 2 <= a^-1 <= p-2 是因為乘法反元素唯一存在
且若是 a 的範圍在 2~p-2 a^-1 的值就不會是 1 和 p-1 了
(因為根據上面的定理 a如果等於1或p-1 乘法反元素就是自己)
所以 a^-1 的值才會在 2~p-2 中
接下來就是因為乘法反元素一一對應
(p-2)-2+1 = p-3 (個數) 又因 p 為大於3的質數
所以 p-3 為偶數
因此 2~p-2 可以分成 (p-3)/2 個 pair 使得每一對的乘積皆為1(在 mod p 下)
=> 2x3x...x(p-2)≡1(mod p) 即(p-2)!≡1(mod p)
=> (p-1)(p-2)!≡(p-1)!≡(p-1)≡-1(mod p)
這證明我也想很久
若是有錯請版友糾正了
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