推 a016258:可以令 2-x^2 = (tx)^2 轉換~ 09/10 13:48
→ ntust661:也可XD 09/10 13:58
→ ntust661:可是我比較愛用這樣的轉換XD 09/10 13:59
推 roud:太感動了~謝謝你的幫忙..老實說碰到這種題目都不知道要怎麼去 09/10 20:37
→ roud:想圖案.... 09/10 20:37
※ 引述《roud (對愛絕望)》之銘言：
: 1 2
: ∫ ∫ √︱y - x^2︱ dydx
: 0 0
: ans: π/4 + 5/6
: 拜託了
: 先謝謝
我之前解過了 可是忘記在哪QQ...
注意!!!看到絕對值先討論區間，積分等等再說!!
因為是二重積分
畫圖
y = 2
↑ 2
┼ y = x
│ ∕
│ (+) ∕
│ ∕
│ ∕
│ ∕
│ ╱ (-)
│╱
┼────┼───→
x = 1
2
討論 │ y - x │ 的正負號
會發現，
2
y < x , 則為負
2
y > x , 則為正
1 2
∫ ∫ √︱y - x^2︱ dydx
0 0
2
1 2 1 x
= ∫ ∫ √(y - x^2) dy dx + ∫ ∫ √(x^2 - y) dy dx
0 x^2 0 0
2
1 2 2 3/2 │2 1 -2 2 3/2 │x
= ∫ ── (y - x ) │ dx + ∫ ── (x - y) │ dx
0 3 │x^2 0 3 │0
1 2 2 3/2 1 2 2 3/2
= ∫ ── (2 - x ) dx + ∫ ── ( x ) dx
0 3 0 3
x = √2 sint
dx = √2 cost dt
2 2
2 - x = 2cos t
π/4 8 4 2 1 4 │1
= ∫ ── cos t dt - ── ── x │
0 3 3 4 │0
π/4 8 1 + cos2t 2 1
= ∫ ── ( ───── ) dt - ──
0 3 2 6
1 8 π/4 1 1 + cos4t
= ── + ── ∫ ── (1 + 2cos2t + ───── ) dt
6 3 0 4 2
1 2 t 1 │π/4
= ── + ── ( t + sin2t + ── + ─── sin4t )│
6 3 2 8 │0
1 2 3(π/4)
= ── + ── ( ─── + 1 )
6 3 2
1 π 2
= ── + ─── + ──
6 4 3
5 π
= ─── + ───
6 4
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有錯請指正阿><
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◆ From: 114.45.219.23