作者ntust661 (Enstchuldigung~)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]
時間Thu Sep 16 21:30:32 2010
※ 引述《SS327 (土豆人)》之銘言：
: http://tw.myblog.yahoo.com/jw!SHTR_hWBA0SAiAiBeiVw/photo?pid=1
: 上面那2張圖可以用左邊函數代表??為什麼阿??如果可以的話單位步階函數在空心點跟實
: 心點
: 有什麼差啊??
: http://ezproxy.lib.ncu.edu.tw:8080/~arhui/cexamn/exam/EC01_90_03.pdf
: 第4題r(t)的表示不是在正負無限大都有...那麼為什麼可以用拉式解??題目需要再加
: t>0嗎???
第四題 您也可以使用Fourier Transform
y'' + 2y' + 10y = r(t)
┌ 1 0 < t < π
│
r(t) = ─┤
│
└ -1 π < t < 2π
r(t) is a periodic function , and period = 2π
y(0) = c1
y'(0) = c2
假設 y 是 piecewise 並且至少符合 Laplace 存在性定理
L {y'' + 2y' + 10y} = L{r(t)}
2π -st
2 ∫0 r(t) e dt
s Y(s) - sy(0) - y'(0) + 2[sY(s) - y(0)] + 10Y(s) = ─────────
1 - e^(-2sπ)
2 1 π -st 2π -st
[s + 2s + 10 ]Y(s) + c1(- s - 2 ) - c2 = ────── [∫ e dt -∫ e dt]
1 - e^(-2sπ) 0 π
2 -1/s -πs -2πs -πs
[s + 2s + 10 ]Y(s) + c1(- s - 2 ) - c2 = ────── (e - 1 - e + e )
1 - e^(-2sπ)
2 1/s -πs 2
[s + 2s + 10 ]Y(s) + c1(- s - 2 ) - c2 = ────── ( 1 - e )
1 - e^(-2sπ)
-πs
2 (1 - e )
[s + 2s + 10 ]Y(s) + c1(- s - 2 ) - c2 = ────────
s ( 1 + e^(-sπ))
-πs
1 1 - e ∞ n -nπs
Y(s) = ─────── (c2 + c1(s+2) + ──── Σ (-1) e )
s^2 + 2s + 10 s n=0
-πs
c2 ( s + 1 ) +1 1 - e ∞ n -nπs
= ─────── + c1 ─────── + ─────── Σ (-1) e
(s+1)^2 + 9 (s + 1)^2 + 9 s((s+1)^2 + 9) n=0
C1 = c2 + 1
C2 = c1
-πs
-t -t -1 1 - e ∞ n -πns
y(t) = C1 sin(3t) e u(t) + C2 cos(3t) e u(t) + L{───────Σ(-1) e }
s((s+1)^2+9)) n=0
我們來觀看後面的級數
-πs
1 - e -πs -2πs -3πs
───────── ( 1 - e + e - e + ... )
s ((s+1)^2 + 9)
第一可拆，第二要積分= ="
-πs
先拆 1 與 e
(1)
1 -πs -2πs -3πs
──────── ( 1 - e + e - e + ... )
s((s+1)^2 + 9)
(2)
1 -πs -2πs -3πs -4πs
──────── ( - e + e - e + e - ....)
s((s+1)^2 + 9)
考慮(1)反轉換後
1 t ∞ n
── ∫ Σ (-1) sin3(t - nπ) u(t-nπ) dt
3 0 n=0
1 ∞ n t
── Σ (-1) ∫ sin3(t-nπ) dt
3 n=0 nπ
1 ∞ n 1
── Σ (-1) ── [cos(0) - cos3(t-nπ)]
3 n=0 3
1 ∞ n 1
── Σ (-1) ── [1 - cos3(t-nπ)] u(t - nπ)
3 n=0 3
1 ∞ n
── Σ (-1) [1 - cos3(t-nπ)] u(t - nπ)
9 n=0
考慮(2)反轉換
1 ∞ n 1
── Σ (-1) [1 - cos3(t-nπ) ] u(t - nπ) - ── ( 1 - cos3t ) u(t)
9 n=0 9
(1) + (2) = =
2 ∞ n 1
── Σ (-1) [ 1 - cos3(t-nπ) ] u(t - nπ) - ── ( 1 - cos3t )u(t)
9 n=0 9
so...
-t -t
y(t) = C1 sin(3t) e u(t) + C2 cos(3t) e u(t) + (1) + (2)
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解完就飽啦XD
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.42.163.156
→ ntust661:這算是我第一次做反轉換= =... 09/16 21:42
→ ntust661:另外說一下...，原本已經快作完的FS解法... 09/16 22:24
→ ntust661:結果發現r(t)的FS並不可微的...XD 09/16 22:25
推 SS327:謝謝我還有一個疑問用拉式的R(T)區間0~無限大...傅立葉 09/16 22:39
→ SS327:R(T)區間-無限大到正無限大 做出來的解果會一樣嗎?? 09/16 22:40
→ ntust661:當然不會囉XD 09/16 22:41
→ SS327:請問字怎麼打的阿 妳打的好整齊.. 09/16 22:42
※ 編輯: ntust661 來自: 114.42.163.156 (09/16 22:44)
→ SS327:所以題目說用拉式解自己要認為t大於0嗎?? 09/16 22:43
→ ntust661:不是 09/16 22:44
→ ntust661:看你函數後面跟著的u(t-a)的 a是多少 09/16 22:45
→ ntust661:如果 a = 1 , 那代表你的函數f(t)從 t = 1 開始才會 09/16 22:46
推 ron0908:推推 好像看手寫稿一樣好整齊@@" 09/16 22:46
→ ntust661:等於 f(t) 09/16 22:46
→ ntust661:如果 t < 1 的話，f(t) 都會等於 0 09/16 22:47
推 SS327:那我問哪題哩????? 09/16 22:47
→ SS327:她沒步階 也沒打T大於0 只說用拉式 09/16 22:48
→ ntust661:他有寫XD 09/16 22:49
→ SS327:題目不是說用拉式解微分方程??有單位步皆嗎?? 09/16 22:51
→ ntust661:你把 週期函數寫成單位步階就好了 09/16 22:58
推 SS327:我的問題是題目給的r(t)是正負無限大的週期函數 09/16 23:06
推 winer8:高手推一個XD 09/21 01:39