※ 引述《gn466687 (我要低調..XD)》之銘言：
: ∫(sinx-x-1)sin(n拍x)dx
: 下限是0
: 上限是1
: 這要怎麼計算啊 ?
照1F作法
∫(sinx-x-1)sin(nπx) dx
1 1 1
= ∫ sinx *sin(nπx) dx - ∫ x*sin(nπx) dx -∫sin(nπx) dx
0 0 0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^
(1) (2) (3)
第(3)部分最簡單直接積分
cos(nπx) 1 1 cos( nπ)
- ------------------- ｜ = ------------ - -------------
nπ 0 ( nπ) ( nπ)
第(1)部分利用積化合差公式 sina *sinb = [cos(a-b) -cos(a+b)]/2
1 1 1
∫ sinx *sin(nπx) dx = ∫ cos(x-nπx) /2 - ∫ cos(x+nπx) /2
0 0 0
sin(1-nπ) sin(1+nπ)
= ----------------- - ---------------
2(1-nπ) 2(1+nπ)
第(2)部分 ∫udv =uv -∫vdu
1 1 1
∫ x*sin(nπx) dx = -xcos(nπx)/nπ ｜ + sin(nπ)/(nπ)^2 ｜
0 0 0
-cos(nπ) sin(nπ)
= -------------- + ---------------
nπ (nπ)^2
微 積
x sin(nπx)
↘+
1 -cos(nπx)/nπ
↘ -
0 → -sin(nπ)/(nπ)^2
+
∫(sinx-x-1)sin(nπx)dx
= sin(1-nπ)/ 2(1-nπ) -sin(1+nπ)/2(1+nπ) +cos(nπ)/ nπ
-sin(nπ)/(nπ)^2 -1/nπ +cos(nπ)/(nπ)
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