推 Lanjaja:謝謝解題 10/08 12:04
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 我想請問一下這一題有技巧的複變積分
: π
: (1/π)*∫exp(cosθ) * cos(sinθ - nθ)dθ
: 0
: 不知道怎麼算，但是題目有給提示，展開exp(1/z) around z=0
: 也許有用，也許沒用。
: 謝謝強者的回答。
令 C : |z|=1 , 故 z = exp(iθ)
再令 f(z) = exp(z)/z^(n+1) ,故
Res[f(z),z=0] = 1/n!
再考慮
∫_c f(z) dz = 2 π i Res[f(z),z=0] = 2πi/n!
= ∫_0^2π exp[exp[i θ]]/exp[i(n+1)θ] exp[i θ] i dθ
= i ∫_0^2π exp(cosθ)*cos(sin θ - nθ) dθ
+ ∫_0^2π exp(cos θ)*sin(nθ-sinθ)dθ
故
∫_0^2π exp(cosθ)*cos(sin θ-nθ)dθ = Im (∫_c f(z) dz) = 2π/n!
因此
(1/π)∫_0^π exp(cosθ)*cos(sinθ-nθ)dθ = 4/n!
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