Re: [理工] [工數]-逆運算子

[ntust661 (Enstchuldigung~)]

※ 引述《aboyfun (新心情)》之銘言：
: 請問我算到一題
:  (4)        (2)
: y   (x) - 4y   (x)=5x^2 - e^2x
: 解答有寫
:      1                         5           5        1
: y =--------(5x^2-e^(2x)) = -______x^4 - _____x^2 - _____xe^(2x)
:  p D^4-4D^2                   48           8        16
: 請問有高手可以幫忙推倒等號後面的答案嗎?
: 感謝


              2       2x                 4    2         2      2
step1. 先把 5x  與 - e   分兩邊，並且把 D - 4D  分解成 D  × (D - 4)



         1       1      2         1       1    2x
     = ── (──── 5x  ) - ──── (──  e   )
        D^2   D^2 - 4          D^2 - 4   D^2


              1     ax    ax   1
step2. 因為 ─── e   = e   ─── ， L(a)  = 0
             L(D)             L(a)


                                                   2      4
            2             1                       D      D
step3. 把 5x 前面的 ─────── 化成級數 (1 + ── + ── + ...)
                     1 - (D/2)^2                  4      16



         -1        1         2     1        1         1    2x
     = ─── (─────  5x ) + ── ─────  (──  e   )
        4D^2   1 - (D/2)^2         4   1 - (D/2)^2   D^2



                       2      4
         -1           D      D            2    1        1         1    2x
     = ───  ( 1 + ── + ── + ...) 5x  + ── (─────)( ── e  )
        4D^2          4      16                4    1 - (D/2)^2   4


                          2      4
            2            D      D              2    5
step4. 把 5x  代入 (1 + ── + ── + ...) = 5x  + ──
                         4      16                  2


            1     ax      ax   1
step5. 把 ─── e    =  e   ───   , if L(a) = 0
           L(D)              L(D+a)



         -1       2      5        1     2x         1
     = ─── ( 5x  +  ── ) + ──   e   (────────) 1  )
        4D^2             2       16         1 - ((D+2)/2)^2


                                  2x
         -1       2      5       e           1
     = ─── ( 5x  +  ── ) + ──  ( ──────) 1
        4D^2             2       16     - D - D^2/4


            1              1      1
step6. ─────  分解成 ── ────
        D^2/4 + D          D    1 + D/4


                                  2x
         -1        2      5      e   -1        1
     = ───  ( 5x  +  ──) + ── ── (───── 1)
        4D^2              2      16   D      1 + D/4


                                            2
             1                     D       D
step7. 把 ──── 級數展開 ( 1 - ── + ── - ...)
           1 + D/4                 4      16


                                  2x                    2
         -1        2    5        e   -1         D      D
     = ───  ( 5x  + ── ) + ── ── ( 1 - ── + ── - ... ) 1
        4D^2            2        16   D          4      16


                                   2x
         -1        2    5         e    1
     = ───  ( 5x  + ── ) - ──  ──  1
        4D^2            2        16    D



                                 2x
         -1        2    5        e
     = ───  ( 5x  + ── ) - ──  x
        4D^2            2       16



        1
step8. ── 代表 ∫ dx
        D


         -1        1     4    1      2     1     2x
     = ───  ( ── 5 x  + ── 5 x ) - ── x e
         4        12          4            16



         -1     4    1      2     1     2x
     =  ── 5 x  - ── 5 x   - ── x e
         48          16           16



看起來很多啦~可是實際上不用花太多時間喔!
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.45.212.25
→ ntust661:我多個步驟解說好了
※ 編輯: ntust661        來自: 114.45.212.25        (10/09 20:17)
推 aboyfun:感謝您^^
※ 編輯: ntust661        來自: 114.45.212.25        (10/09 20:59)
推 Avvredguitar:請問一下step4中的[(D^2)/4]5x^2 如何算得5?
→ ntust661:D^2 代表對後面的東西做兩次微分
感謝 Av 大大的指點


我又錯了 冏...
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如此又可以證明解答是錯的...
※ 編輯: ntust661        來自: 114.45.212.25        (10/09 23:23)
→ ntust661:我按過程式了，原PO給的答案不對@@