※ 引述《lionichiro (阿暐~~!)》之銘言：
: f(t)= 1+t^2 ,0<t<1
: 3-t ,1<t<2
: f(t+2)=f(t)
: 要求它的傅立葉級數~~
: 如果用定義去做好像很久~~
: 似乎有平移的做法
: 但小弟對喻超凡書上面的平移看不太懂
: 可否請版上的版友們幫忙解這題!!
: 謝謝
1 2 1 1 2 2
a0 = ── ∫ f(t) dt = ── [∫ 1+t dt + ∫ 3 - t dt]
2 0 2 0 1
3 2
1 t │1 t │2
= ── [ (t + ──)│ + (3t - ──)│ ]
2 3 │0 2 │1
1 1 3
= ── [ (1 + ──) + (3 - ──) ]
2 3 2
1 7 17
= ── [ 4 - ── ] = ──
2 6 12
2 2
an = ── ∫ f(t) cos(nπt) dt
2 0
1 2 2
= ∫ (1 + t ) cos(nπt) dt + ∫ (3 - t) cos(nπt) dt
0 1
1 2 1 -1
= ( ── sin(nπt) + t ── sin(nπt) - 2t ──── cos(nπt) +
nπ nπ (nπ)^2
2 │1 1 1
─── -sin(nπt) )│ + (3 ── sin(nπt) + (-t) ── cos(nπt) -
(nπ)^3 │0 nπ nπ
-1 │2
─── sin(nπt) )│
(nπ)^2 │1
2 2 1
= ──── cos(nπ) + (-1)(── cos(2nπ) - ── cos(nπ) )
(nπ)^2 nπ nπ
2 n 1 n
= ──── (-1) - (──)(2 - (-1) )
(nπ)^2 nπ
-2 3
n = 1 , ──── - ──
π^2 π
2 1
n = 2 , ───── - ──
4π^2 2π
-2 3
n = 3 , ───── - ──
9π^2 3π
1 2 1 2 2
bn = ── ∫ f(x) sin(nπx) dx = ∫(1 + t)sin(nπt) dt +∫ (3-t)sin(nπt)dt
1 0 0 1
1 2 -1 -1
= (── cos(nπt) + t ── cos(nπt) - 2t ─── sin(nπt) +
nπ nπ (nπ)^2
1 │1 -3 -1
2 ───── cos(nπt) ) │ + ((── cos(nπt) - (t ── cos(nπt) -
(nπ)^3 │0 nπ nπ
-1 │2
─── sin(nπt) )│
(nπ)^2 │1
1 n 1 n 2 n 3 n
= ── [(-1) - 1] - ── (-1) - ─── [(-1) - 1] + (──[(-1) - 1]
nπ nπ (nπ)^3 nπ
2 1 n
+ ── - ── (-1) )
nπ nπ
1 n n n n 2 n
= ── [ (-1) - 1 - (-1) + 3(-1) - 3 + 2 - (-1) ] + ──── [1-(-1)]
nπ (nπ)^3
2 n 2 n
= ── [ (-1) - 1 ] + ──── [ 1 - (-1) ]
nπ (nπ)^3
-4 4
n = 1 , ─── + ─────
π π^3
n = 2 , 0
-4 4
n = 3 , ─── + ─────
3π 27π^3
3 ∞
f(t) = ── + Σ an cos(nπt) + bn sin(nπt)
2 n=1
再把係數用上去就好囉~ 寫個三項應該不過分@@...
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