推 zendla:很詳細的解答@@ 太感謝你了 11/17 12:14
※ 引述《zendla (夏夜薄荷)》之銘言：
: 1.Use the change of variable x =1/t to determine the general solution of the
: differential equation.
: 4 3 3/x
: x y" + 2x y'- y = 8e
: -1/x 1/x 3/x
: ans:y = c1e + c2e + e [台大機械]
: -----------------小弟的解法----------
: 2 1 8 3/x
: 原ODE寫成 y" + ── y' - ── y = ── e
: x x^4 x^4
: 2 1
: 令P(x) = ── , Q(x) = - ──
: x x^4
: 1
: - ──
: Q(x) x^4
: 再令 ─── = ──── = A 取 A = -1
: (z')^2 (z')^2
: 1 1 1
: 則 z'(x) = ── , z"(x) = -2 ── , z(x) = - ──
: x^2 x^3 x
: 1 2 1
: -2 ── + ── ───
: z" + Pz' x^3 x x^2
: 且令 ───── = ──────────── = 0
: (z')^2 1
: ──
: x^4
: 則原ODE可寫成 2
: d y 4 -3z
: ─── - y = 8z e
: dz^2
: -z z 1/x -1/x
: yh = c1e + c2e = c1e + c2 e
: 1 4 -3z
: yp = ──── 8z e
: D^2 -1
: -3z 1 4
: = 8e ────── z
: D^2 -6D + 8
: -3z 1 3 7 2 15 3 31 4 4
: = 8e [── + ── D + ── D + ─── D + ─── D +...] z
: 8 32 128 512 2048
: = ...(感覺解答的yp有錯，不然就是我算錯了ORZ)
: 若照原題目令x=1/t的話要怎麼做?
令x=1/t, => t=1/x, dt/dx=-1/x^2=-t^2
dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) = -t^2 (dy/dt)
d^2y/dx^2 = d/dx (-t^2 (dy/dt)) = d/dt (-t^2 (dy/dt)) (dt/dx)
= (-2t (dy/dt) - t^2 (d^2y/dt^2)) (-t^2)
=t^4 (d^2y/dt^2) + 2t^3 (dy/dt)
代入原方程式可整理為 d^2y/dt^2 - y = 8 e^3t
yh = C1 e^t + C2 e^-t
yp = e^3t
=> y = C1 e^t + C2 e^-t +e^3t
= C1 e^(1/x) +C2 e^(-1/x) +e^(3/x)
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◆ From: 140.121.146.175