※ 引述《aboyfun (新心情)》之銘言：
: 請問有一題如下:
: 算出 t 和 e^(at) 的 Laplace Transform 求出他們的 convlutuion h(t) 以及求出
: h(t)的 Laplace Transform H(s).
: 請問這一題如何解呢?
: 對convolution部太熟 想觀摩 感謝^^
1
L[t] = ----- , t ≧ 0
s^2
1
L[e^(at)] = ----- , t ≧ 0
s-a
t
t * e^(at) = ∫ (t - τ) e^(aτ) dτ
0
t t
= t∫ e^(aτ) dτ - ∫ τe^(aτ)dτ
0 0
t ｜t 1 ｜t 1 t
= --- * e^(aτ)｜ - ---*τ* e^(aτ)｜ + ---*∫ e^(aτ) dτ
a ｜0 a ｜0 a 0
t t t 1 ｜t
= --- * e^(at) - --- - --- * e^(at) + ----- * e^(aτ)｜
a a a a^2 ｜0
-t 1
= --- + -----[e^(at) - 1]
a a^2
L[h(t)] = L[t] * L[e^(at)]
1 1 1
= ----- * ----- = -------------
s^2 s-a s^2 * (s-a)
或者可以將上面的 h(t) 做 Laplace Transform 可得到一樣結果
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