推 endlesschaos:留數定理的目的不就是曲線繞過奇異點嗎？所以π的確 11/25 18:19
→ endlesschaos:是正確的(我後來有算出來) 另外因為穿過的奇點是一階 11/25 18:20
→ endlesschaos:奇點 所以不會發散 如果是二階以上則會 11/25 18:20
可以看一下 Cauchy Integral Formula 使用的 先決條件
您所使用的前置條件一定有違背
或是某些積分路徑的 term 原本要是發散或不存在
但是卻過於依賴 residue thm. 而不去考慮那些路徑的積分值
造成把錯誤的結論視為是對的
我可以舉 a = 0.5 的例子:
π cosθ
∫ f(θ) dθ for f(θ) = ──────
0 cosθ - 0.5
f(θ) 在 cosθ=0.5 , 也就是 θ=π/3 是 undefined
所以根據瑕積分定義:
π π/3 π
∫ f(θ) dθ = ∫ f(θ) dθ + ∫ f(θ) dθ
0 0 π/3
^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^
(1) (2)
(1) 和 (2) 的積分可以自己動手算看看 (初微的變數變換可以算出來)
或是用 Matlab 等數值軟體分別跑一下這兩個積分
(1)式 會發散至 無窮大
(2)式 會發散至 負無窮大
所以原始的積分值不存在 (用軟體跑會出現 NaN 的結果)
這題頂多在 a=0 時可以對 θ=π/2 做瑕積分定義的拆解
然後算出積分值 = π
其它 -1<a<1 的 case , 該積分值一定不存在
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.47.130 (11/25 23:59)
推 abcxyz123:相信d大吧~~推推 11/26 00:29
推 abcxyz123:matlab跑出來的確發散 周易做錯啦~~ 11/26 00:34
→ endlesschaos:其他幾個值我也都試過了 雖然不是每個答案都是π 但 11/26 02:09
→ endlesschaos:的確都是收斂的值(有虛數) 正無窮大和負無窮大兩者 11/26 02:09
→ endlesschaos:相加的確有可能會是收斂的值吧 另外Matlab本來就不 11/26 02:10
→ endlesschaos:是專門處理有非定義點的極限值積分軟體 所以...... 11/26 02:10
→ endlesschaos:不過的確可以證明這題的積分值會隨著a不同而有所改變 11/26 02:11
就是因為正無窮大的數字加上負無窮大不知道是何數字
才會視為它是一個 "不定數"
或是嚴格說就是極限不唯一，也就是極限不存在
這不正是 初微瑕積分的定義嗎?
2 1
一個經典的例子是 ∫ ── dx = ?
-3 x
若把這題的極限值當成是 ln(2/3)
那瑕積分那部分就真的要再重看一遍了 ＝＝
另外處理非定義點的問題
軟體一定會先處理把積分拆開來
不同的軟體可能會有不同的 algorithm 或 data structure
所以跑出複數答案就代表該演算法對求此積分並不適用
要您跑軟體只是想驗證或節省時間
若您還是相信答案是 π
那我把不定積分的 closed form 打出來:
cosθ 1 tan(θ/2) +│tan(φ/2)│
∫ ────── dθ = θ + ────*ln│────────────│ + C
cosθ - cosφ │sinφ│ tan(θ/2) -│tan(φ/2)│
2 -1
or = θ + ────*tanh [│cot(φ/2)│*tan(θ/2) ] + C
│sinφ│
若 cosφ≠0 , θ 從 0 積到 π 很明顯極限不存在
您也可以把複變的計算過程 po 上來
看看哪邊有問題
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.136 (11/26 13:30)
推 dapouchi:前幾天寫成大電機95年的題目 有一題類似的 答案是 -∞ 11/26 18:45
→ dapouchi:那一題只有a 換成 cos α α is constant 11/26 18:46
推 dapouchi:請問d大 這題是不是 極點剛好在圓上面 11/26 18:49
→ dapouchi:這種題目就是發散嗎？ 我觀念差 只有背題形 囧... 11/26 18:50
→ dapouchi:請問那種題目 劃一個半圓的 實軸上有極點 改成πi去乘 11/26 18:51
→ dapouchi:的題目 跟這題的差別在哪呀？ ^^ 11/26 18:51
→ dapouchi:希望板上大大為我解惑 感謝 11/26 18:52
→ doom8199:contour 穿過 pole 的話，那極限不存在 11/26 23:17
→ doom8199:所以一般會繞過 pole 去算 contour 積分 11/26 23:18
→ doom8199:可是以要看繞過的那個積分，是不是會均勻收斂至 0 11/26 23:18
→ doom8199:或是收斂其它值or 發散，來看能不能推出我們想要的結果 11/26 23:19
推 G41271:d大你好 這題我與你意見相左 原PO有轉文至數學版 那時我有 11/26 23:47
→ G41271:回文寫過程 請你看看 11/26 23:47
→ doom8199:我有大概喵一下您計算過程，擬最後的結論是因為取 11/27 01:02
→ doom8199:柯西主值(α=β)，若今天取不同的收斂路徑，例如 11/27 01:03
→ doom8199:(α,β) = (r*cosk, r*sink), 0<=k<2*pi 11/27 01:04
→ doom8199:然後 r→0 , 那最後的結果是否會 depend on k 11/27 01:05
→ doom8199:也就是極限是否唯一，我覺得可以算看看 @@ 11/27 01:06
推 dapouchi:請問 這題如果把a改成 cosα α是常數 答案一樣是π嗎 11/29 01:27
→ dapouchi:我上次算到一題類似的 看喻超凡的解答是 -∞ 11/29 01:28
→ dapouchi:他還註明很多老師解答是錯的 @_@ 跟這題是不是很像? 11/29 01:29