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f(z)
evaluate ∮ ------- dz
z - a
a為曲線上之一點, f(z)除了a點外在曲線內區域解析
由於 a 在曲線上未定義
因此考慮曲線 C 和曲線 c* 的積分
f(z) f(z) f(z) f(z)
=> ∮------- dz = ∫ ------- dz + ∫ ------- dz - ∫ ------- dz
z - a C z - a c* z - a c* z - a
π π
其中 c* ： z = εe^(iθ) ε→0 , θ：- --- → ---
2 2
(角度和圖中顯示不盡相同，但要表達的是順時針繞半圈)
f(z) f(z)
故 ∮------- dz = - ∫ ------- dz (∵ f(z)在C和c*構成的封閉曲線內區域解析 )
z - a c* z - a
1 f(z)
= - --- * ∮(順時針) ------- dz
2 c* z - a
1
= - --- * [- 2πi * Res(a)]
2
= πi * Res(a)
因此
曲線上若存在一階奇異點
可直接通過並使其貢獻一半的留數
由於原題 cosθ - a 使 f(θ) 無意義之點為一階奇異點
因此仍可利用留數積分
概念上是這樣
如果有錯誤的地方還請指教
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補上原題積分的步驟
π cosθ
I = ∫ ----------- dθ
0 cosθ - a
1 2π e^(iθ)
= --- Re [∫ ----------- dθ]
2 0 cosθ - a
1 z 1
= --- Re [∮ ------------------ * ---- dz]
2 |z|=1 1 1 iz
---(z + ---) - a
2 z
1 -2iz
= --- Re [∮ --------------- dz]
2 z^2 - 2az + 1
1 ＿＿＿＿ ＿＿＿＿
= --- Re {πi * [Res(a + √1 - a^2 i) + Res(a - √1 - a^2 i)]}
2
＿＿＿＿ ＿＿＿＿ -2iz ｜
Res(a + √1 - a^2 i) = [z - (a + √1 - a^2 i)]* ---------------｜
z^2 - 2az + 1 ｜z = z1
-2iz ｜
= ---------｜ ＿＿＿＿
2z - 2a ｜z = a + √1 - a^2 i
-a
= ----------- - i
＿＿＿＿
√1 - a^2
＿＿＿＿ -2iz ｜
Res(a - √1 - a^2 i) = ---------｜ ＿＿＿＿
2z - 2a ｜z = a - √1 - a^2 i
a
= ----------- - i
＿＿＿＿
√1 - a^2
1 1
故所求 = --- Re[πi * (-2i)] = --- Re[2π] = π
2 2
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