作者G41271 (茶)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數] 留數定理
時間Mon Nov 29 02:29:34 2010
※ 引述《doom8199 (～口卡口卡 修～)》之銘言：
: ※ 引述《endlesschaos (Knight of Owner)》之銘言：
: : 在解周易的其中一題
: : π cosθ
: : 題目：Evaluate ∫ ----------- dθ, -1 < a < 1
: : 0 cosθ - a
:
: 1.
:
: 有發現積分區間一定會存在某一個角度 θ=m
:
: 使得 cos(m) = a 嗎 ?
:
: 也就是 f(θ) = cosθ/(cosθ - a) 在 θ=m 沒定義
:
:
: 換句話說
:
: 原積分值不存在...
:
: 這題的答案寫 π 是錯的
:
:
:
: 2.
:
: 用複變的角度上看
:
: contour 穿過 pole
:
: 那該 contour 積分一定發散或不存在
:
:
: 這代表著
:
: 您所選取的 closed contour 是不恰當的
:
: 抑或是不足以計算(推論)出原始 定(瑕)積分 的值
:
:
:
:
:
:
:
: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
: ◆ From: 140.113.211.136
: ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.136 (11/25 15:31)
: 推 endlesschaos:留數定理的目的不就是曲線繞過奇異點嗎？所以π的確 11/25 18:19
: → endlesschaos:是正確的(我後來有算出來) 另外因為穿過的奇點是一階 11/25 18:20
: → endlesschaos:奇點 所以不會發散 如果是二階以上則會 11/25 18:20
:
:
: 可以看一下 Cauchy Integral Formula 使用的 先決條件
:
: 您所使用的前置條件一定有違背
:
: 或是某些積分路徑的 term 原本要是發散或不存在
:
: 但是卻過於依賴 residue thm. 而不去考慮那些路徑的積分值
:
: 造成把錯誤的結論視為是對的
:
:
:
: 我可以舉 a = 0.5 的例子:
:
: π cosθ
: ∫ f(θ) dθ for f(θ) = ──────
: 0 cosθ - 0.5
:
:
: f(θ) 在 cosθ=0.5 , 也就是 θ=π/3 是 undefined
:
: 所以根據瑕積分定義:
:
: π π/3 π
: ∫ f(θ) dθ = ∫ f(θ) dθ + ∫ f(θ) dθ
: 0 0 π/3
: ^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^
: (1) (2)
:
:
: (1) 和 (2) 的積分可以自己動手算看看 (初微的變數變換可以算出來)
:
: 或是用 Matlab 等數值軟體分別跑一下這兩個積分
:
: (1)式 會發散至 無窮大
: (2)式 會發散至 負無窮大
:
: 所以原始的積分值不存在 (用軟體跑會出現 NaN 的結果)
:
:
:
: 這題頂多在 a=0 時可以對 θ=π/2 做瑕積分定義的拆解
:
: 然後算出積分值 = π
:
: 其它 -1<a<1 的 case , 該積分值一定不存在
: ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.47.130 (11/25 23:59)
: 推 abcxyz123:相信d大吧~~推推 11/26 00:29
: 推 abcxyz123:matlab跑出來的確發散 周易做錯啦~~ 11/26 00:34
: 推 endlesschaos:http://ppt.cc/W_Ol 當 a = √3/2時積分值為π 另外 11/26 02:08
: → endlesschaos:其他幾個值我也都試過了 雖然不是每個答案都是π 但 11/26 02:09
: → endlesschaos:的確都是收斂的值(有虛數) 正無窮大和負無窮大兩者 11/26 02:09
: → endlesschaos:相加的確有可能會是收斂的值吧 另外Matlab本來就不 11/26 02:10
: → endlesschaos:是專門處理有非定義點的極限值積分軟體 所以...... 11/26 02:10
: → endlesschaos:不過的確可以證明這題的積分值會隨著a不同而有所改變 11/26 02:11
:
: 就是因為正無窮大的數字加上負無窮大不知道是何數字
:
: 才會視為它是一個 "不定數"
:
: 或是嚴格說就是極限不唯一，也就是極限不存在
:
: 這不正是 初微瑕積分的定義嗎?
:
:
: 2 1
: 一個經典的例子是 ∫ ── dx = ?
: -3 x
:
: 若把這題的極限值當成是 ln(2/3)
:
: 那瑕積分那部分就真的要再重看一遍了 ＝＝
:
:
:
: 另外處理非定義點的問題
:
: 軟體一定會先處理把積分拆開來
:
: 不同的軟體可能會有不同的 algorithm 或 data structure
:
: 所以跑出複數答案就代表該演算法對求此積分並不適用
:
:
:
: 要您跑軟體只是想驗證或節省時間
:
: 若您還是相信答案是 π
:
: 那我把不定積分的 closed form 打出來:
:
:
: cosθ 1 tan(θ/2) +│tan(φ/2)│
: ∫ ────── dθ = θ + ────*ln│────────────│ + C
: cosθ - cosφ │sinφ│ tan(θ/2) -│tan(φ/2)│
:
: 2 -1
: or = θ + ────*tanh [│cot(φ/2)│*tan(θ/2) ] + C
: │sinφ│
:
: 若 cosφ≠0 , θ 從 0 積到 π 很明顯極限不存在
:
:
:
:
: 您也可以把複變的計算過程 po 上來
:
: 看看哪邊有問題
: ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.136 (11/26 13:30)
: 推 dapouchi:前幾天寫成大電機95年的題目 有一題類似的 答案是 -∞ 11/26 18:45
: → dapouchi:那一題只有a 換成 cos α α is constant 11/26 18:46
: 推 dapouchi:請問d大 這題是不是 極點剛好在圓上面 11/26 18:49
: → dapouchi:這種題目就是發散嗎？ 我觀念差 只有背題形 囧... 11/26 18:50
: → dapouchi:請問那種題目 劃一個半圓的 實軸上有極點 改成πi去乘 11/26 18:51
: → dapouchi:的題目 跟這題的差別在哪呀？ ^^ 11/26 18:51
: → dapouchi:希望板上大大為我解惑 感謝 11/26 18:52
: → doom8199:contour 穿過 pole 的話，那極限不存在 11/26 23:17
: → doom8199:所以一般會繞過 pole 去算 contour 積分 11/26 23:18
: → doom8199:可是以要看繞過的那個積分，是不是會均勻收斂至 0 11/26 23:18
: → doom8199:或是收斂其它值or 發散，來看能不能推出我們想要的結果 11/26 23:19
: 推 G41271:d大你好 這題我與你意見相左 原PO有轉文至數學版 那時我有 11/26 23:47
: → G41271:回文寫過程 請你看看 11/26 23:47
: → doom8199:我有大概喵一下您計算過程，擬最後的結論是因為取 11/27 01:02
: → doom8199:柯西主值(α=β)，若今天取不同的收斂路徑，例如 11/27 01:03
: → doom8199:(α,β) = (r*cosk, r*sink), 0<=k<2*pi 11/27 01:04
: → doom8199:然後 r→0 , 那最後的結果是否會 depend on k 11/27 01:05
: → doom8199:也就是極限是否唯一，我覺得可以算看看 @@ 11/27 01:06
我用複變寫寫看,大家看看.
先修改題目成
+π dθ
I = ∫ ------------ (0<a<π) .
-π cosθ-cosa
做複變轉換,z=e^(iθ),C:｜z｜=1
dz 2
I = ∮ ----------------------- ----
C (z-e^(ia))(z-e^(-ia)) i
因為C過極點,所以作避點積分,再取極限,所求即為I.
Cb : 以e^(ia)為圓心.往內畫半徑b的半圓.(不到半圓,不過這邊是考慮到b很小)
即路徑Cb:z=e^(ia) + be^(iψ), ψ從(a-π/2)~(a+π/2) (順繞)
(同樣,角度也是b很小時的趨近情況)
Cg : 以e^(-ia)為圓心.往內畫半徑g的半圓.
即路徑Cg:z=e^(-ia) + ge^(iψ), ψ從(-a-π/2)~(-a+π/2) (順繞)
CR : z=e^(iθ),θ從-a+ε2逆時針繞到a-ε1,再從a+ε1逆時針繞到-a-ε2
就是幾乎繞了一整圓,除了那兩個極點的半圓.
(沒圖,希望大家看得懂)
因此Cb+Cg+CR為一封閉曲線C,f(z)在C上和C內皆無極點.所以
IC = 0 = Ib+Ig+IR
取b→0,g→0;則ε1,ε2皆→0,此時IR即→所求I.
2
f(z) = -------------------------
i(z-e^(ia))(z-e^(-ia))
以下皆省略極限符號.
a+π/2 ibe^(iψ) dψ 2
Ib = ∫f(z) dz = ∫ ------------------------------------ ---
Cb a-π/2 be^(iψ) [e^(ia)+be^(iψ)-e^(-ia)] i
a+π/2 idψ 2 +πi
= ∫ -------------- --- = ------ (因順繞)
a-π/2 2i sina i sina
-a+π/2 ige^(iψ) dψ 2
Ig = ∫f(z) dz = ∫ ------------------------------------ ---
Cg -a-π/2 [e^(-ia)+ge^(iψ)-e^(ia)] ge^(iψ) i
-a+π/2 idψ 2 -πi
= ∫ -------------- --- = ------ (因順繞)
-a-π/2 -2i sina i sina
IR+Ib+Ig = IC = 0,取極限: I + (πi/sina) + (-πi/sina) = 0
所以所求 I = 0
-------------------------------------
如果用萬能代換來做,t = tan(θ/2). dθ = 2 dt/(1+t^2)
π dθ -1 ∞ dt
則 I = 2∫ ------------ = ----------- ∫ ---------------
0 cosθ-cosa cos^2(a/2) 0 t^2 - k^2
其中 k = tan(a/2) , 0<k<∞ .
∞
let J = ∫ dt/(t^2-k^2) ,then I = -J / 2cos^2(a/2)
-∞
到這邊應該都沒問題,以下我用複變寫,請看看.
let f(z) = 1/(z^2-k^2).用複變解J,路徑上有兩個極點,做避點積分.
Cb : z = k + be^(iψ) , ψ從0到π,(順繞)
Cg : z = -k + ge^(iψ) , ψ從0到π,(順繞)
CR : z = Re^(iφ) , φ從0到π.
CJ : 實軸上z從-∞到+∞,除了那兩個極點的半圓.
C = Cb + Cg + CR + CJ 為一封閉曲線,函數f(z)在C上及C內無極點,
所以IC = ∮ f(z)dz = 0 .
C
取b→0,g→0,R→∞,則
dz 0 ibe^(iψ)dψ 0 idψ -πi
Ib = ∫ ------------- = ∫ ------------------------ = ∫ ---- = -----
Cb (z+k)(z-k) π (2k+be^(iψ))(be^(iψ)) π 2k 2k
dz 0 ige^(iψ)dψ 0 idψ +πi
Ig = ∫ ------------- = ∫ ------------------------ = ∫ ---- = -----
Cg (z+k)(z-k) π (ge^(iψ))(-2k+ge^(iψ)) π -2k 2k
IR = 0 when R→∞, 過程略.
IC = Ib + Ig + IR + J = 0 . (-πi/2k) + (πi/2k) + 0 + J = 0
所以 J = 0,即所求I=0.
--------------------------
寫一寫自己又產生些想法了.
+∞
1. J = 2∫ dt/(t^2-k^2) .如同d大所說,若用初微處理,
0
則只有在取科西主值時J才會有唯一解,但若用複變的避點積分,則可算出唯一解來.
回去翻了翻書,發現避點積分就是在算科西主值.
2. 所以,按照上述說法,我想說I的科西主值存在(=0)應該是沒問題的.
(我上面所寫直接轉複變好像有些不嚴謹,
但萬能代換後再轉複變那邊應該是沒問題的,吧)
3. 科西主值存在,暇積分值不一定存在,因初微的暇積分定義很嚴格,
左邊的面積和右邊的面積都要存在才行.
4. 如果上述說法皆正確,那我們所爭論的就只是應該要回答嚴格的暇積分答案,
還是複變常算的科西主值答案而已.
5. 在用複變求實數定積分時,似乎也有許多題目是只有科西主值存在的.
而題目有標明是求科西主值的似乎不多.所以,遇到這種題目時,答案到底要寫什麼咧.
雖然我明顯是站在科西主值這邊的,不過還是以考試中心為準吧,
你說答案公布是不存在就不存在吧.隨意,反正我不用考試了.
6. 在應用方面上,算積分時取科西主值會比取暇積分值實用許多.
例如解green function時,有遇到這樣的積分:
∞ cossr
∫ ---------- ds ,這個的暇積分值應該不存在吧(看起來不存在,好啦我也不確定),
-∞ s^2-k^2
,但算科西主值後,的確可以解出符合題意的答案來.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 112.105.79.19
※ 編輯: G41271 來自: 112.105.79.19 (11/29 02:33)
→ a016258:最後一個答案是0 11/29 02:33
→ a016258:6.收斂 跟s^(-1.5)比 極限跑到0 s^(-1.5)積分存在 11/29 02:37
推 dapouchi:好長喔 囧 你辛苦了.... 所以 喻超凡的解答錯了? 11/29 19:33
→ dapouchi:還是 完全得看改考卷的人的想法 11/29 19:33
→ dapouchi:如果我是出題者 一定不會出發散的 但我不是出題者 囧 11/29 19:34
推 ntust661:的確很多實數積分都需要作P.V. 11/30 00:31
→ ntust661:例如Fourier transform 11/30 00:31
推 doom8199:這篇說的很詳細，推! 12/05 16:22
→ doom8199:另外回樓上舉的 FT, 它原始應該沒有放鬆這個限制 12/05 16:23
→ doom8199:有放鬆積分的限制應該如 Hilbert Transform 這類 12/05 16:24