Re: [理工] [線代] eigenvalue是非兩題

[mzhrqoc01 (皓皓)]

※ 引述《BenLinus (班)》之銘言：
: ※ 引述《juan19283746 (小阮)》之銘言：
: : 標題: [理工] [線代] eigenvalue是非兩題
: : 時間: Thu Dec  9 16:55:39 2010
: : 1. If A is the zero matrix , then the only eigenvalue of A is 0.
: : → juan19283746:那請問一下  如果第一題條件改成A^2是零矩陣          12/09 19:22
: : → juan19283746:特徵值還會都是0嗎  謝謝                            12/09 19:23
: : → BenLinus:我覺得會 @@                                            12/09 20:05
:   2                2
:  A  = 0   =>  det(A) = 0 = det(A)det(A)
:          2
:  [det(A)] = 0,   det(A) = 0 = det(A - λI)      =>  λ 可以為 0
: 不過再考慮 det(A) = det(A - λI), 拿個 2x2 的矩陣來說好了,
: 假設 A = [ a  b ]    det(A) = ad -bc                                   2
:          [ c  d ]    det(A - λI) = (a-λ)(d-λ) - bc = ad - (a+d)λ +λ -bc
: 若 det(A) = det(A - λI),
:                  2
:      -(a+d)λ +λ  = 0  => 用公式解求得  λ = (a+d) or 0


考慮 A 的Eigenvector
   2       2
=>A  (x)=λ  *x = 0

所以當x=/=0時

＝>   λ＝0

而對x=0時

因為EigenVector為零向量

＝>  (A-λI)x = 0  只有 x=0 的解
＝>  det(A-λI) =/= 0
產生矛盾，所以λ會為零

以上是我的淺見。


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◆ From: 140.112.249.146
推 BenLinus:嗯嗯, 不過根據定義: eigenvector必為非零向量~
→ BenLinus:所以應該後面就不用再討論了 ^_^
推 ntust661:所以 det( A - λI )= 0
→ BenLinus:我是指就不用討論 x=0 的情況了; 這樣證超快 @@ 厲害!
※ 編輯: mzhrqoc01       來自: 140.112.249.146      (12/09 21:56)
推 juan19283746:謝啦  厲害