※ 引述《Magellan5566 (我要成為航海王)》之銘言：
: 想請問
: "已知隨機變數 X, Y 獨立
: 要怎麼證明 隨機變數 X^2, Y 獨立? "
: THX <(_ _)>
由於 x.y 獨立 所以 f(x,y) = fX(x)fY(y)
設 U=u(X)， V=v(Y) 其中 U 跟 V 均為連續函數
由上
Fuv(u,v) = P(U <= u , V <= v)
= P(u(x) <= u , v(Y) <= v)
=∫∫fX(x)fY(y)dxdy = ∫fX(x)dx ∫fY(y)dy
u(x)<=u u(x)<=u v(y)<=y
c(y)<=v
=P(u(X) <= u) P(v(Y) <= v) = FU(u)FV(v) =====>U,V互相獨立
從這樣的證明可以得出
"對獨立的隨機變數 X,Y 其各自的函數U(X) , V(Y)仍各自獨立"
"但若 函數U(X) , V(Y) 互相獨立 不保證 X, Y互相獨立"
原命題中的X^2 , Y分別如上述方法計算 就可以得證.
其實直觀一點 或許可以這樣想
因為x,y獨立 所以f(x,y)可以分解成 fX(x)fY(y) f(x)跟y沒關係 f(y)跟x沒有關係
如果令Z=X^2 得得出的fZ(z)必定也是x的函數 跟y沒有關係
所以 f(x^2 , y)必定可以分解成 fZ(z)fY(y) 符合獨立條件
但以上想法的前提在於：已知 X ,Y 互相獨立
你可以令Z=X^2 將Z做單變數變換 求出fZ(z)看看是否如此
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