Re: [理工] [微積分]三角函數比大小

[mathmanliu (煩惱即是菩提)]

※ 引述《maydayai ()》之銘言：
:             2          2
:  比較 sin(x)   跟   sin (x)  在 0<x<1 範圍內的大小
:  這題是在微積分裡面出現的
:  只是我看不太出來要用哪個部分的方式去解~
:  是相減微分看斜率嗎??
:  這題是考試的題目
:  希望是可以有標準作法~
:  謝謝~~

By Maclaurin's series:
     2     2   x^6  x^10
sin(x ) = x  - ─ + ── - ...
               3!    5!
   2     1-cos(2x)   1      (2x)^2   (2x)^4
sin x = ───── = ─[1-1+─── - ─── + ... ]
            2        2        2!      4!

         2   x^4
      = x  - ─ + ...
              3

 4    6
x  > x    ( for 0<x<1)

      2         2
故 sin x < sin(x )   for 0 <x<1

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◆ From: 123.193.26.211
推 G41271:為什麼後面的項不用考慮?
推 Lanslote:因為在區間(0,1)，乘越多次會越小
推 G41271:可是x^6又>x^10 第三項是sin^2x大 這樣真的能保證證明OK嗎
推 Aweather:這樣應該不行...假設 f(x) = 1000000x^4 g(x)=0.001x^2
→ Aweather:在(0,1)開區間哪個大？
推 Lanslote:樓上離題了，討論函數大小的時候常數部分也要考慮
→ Lanslote:但是原題的第n項常數部分取絕對值都比n+1項大
→ Lanslote:而且0<x<1，所以越後面的項次會越小，比對前幾項就好囉
→ G41271:可是正負交錯耶.第一項A>B,第二項B>A,第三項又反回來
推 Lanslote:後項對總合的影響比前項小，所以全部加起來以後還是A大