[理工] [矩陣] 最小多項式

[akisora (秋空)]

剛剛在算一題求反矩陣  樣子是　┌１１０┐
                        　　　│０１２│＝Ａ
　　　　　　　　　　　　　　　└００１┘

因為有重根　所以可以用最小多項式求反矩陣

特徵值為１　重根三次

最小多項式的次方數m　(X-1)^m　m為代數重數減幾何重數+1

＝＞3 - 2 + 1 = 2　所以 最小多項式為

f(X) = (X-1)^2 = X^2 - 2X + 1 = 0

f(A) = A^2 - 2A + I = 0

同乘上 A^-1　得 A - 2I + A^-1 = 0　

所以反矩陣型式為┌１-1０┐　但用古典伴隨算法(a13)項為2
　　　　　　　　│０１-2│
　　　　　　　　└００１┘

想問我有哪邊算錯的嗎!?　謝謝大家　這題是99台大電機D的



另外這邊還有一個問題

因為特徵值1代進去A-λI=0後　得Rank(A)=2　所以特徵向量為 c┌１┐
                        　        　　　　　　　　　 　　│０│
                          　  　　　　　　　　　　　　　 └０┘

這是矩陣的寫法　換成線代　這個 [1 0 0]^T

是矩陣的basis的意思嗎？

不過Rank(A)=2　代表有兩個線性獨立的向量不是嗎？

還是說這邊求到的[1 0 0]^T　是Ker(A)的意思


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.40.96.176
推 woolman:求到的 [1 0 0]^T  應該是Ker(A)的basis  ?
推 abigcocoon:第一題的幾合重數是2嗎?
推 shareba:[1 0 0]^是Ker(A-I)的basis
→ shareba:還有a13是0阿...
→ shareba:a13是第一列第三行對應的餘因子
→ shareba:還有你特徵直代進A-λI  是RANK(A-λI)=2
推 zelkova:第一題1的幾何重數是1才對喔
謝謝大家～　在判斷次方數那裡

幾何重數是 n - λ代進去矩陣A後的rank數　所以是 1 沒錯

我少記了..Orz

至於上面提的a13項　是矩陣的a13項
　　　　　　　　　　　　　　　　　┌１-1０┐　
　　　　　　　　　　　　　　　　　│０１-2│
　　　　　　　　　　　　　　　　　└００１┘

這裡　不過因為我最小多項式的公式記miss了　所以正常來說

還是應該用古典伴隨求反矩陣　上式標紅色的地方應該為正2

感謝大家指出我的錯誤　讓我少走一些冤枉路　
※ 編輯: akisora         來自: 114.40.68.78         (02/02 17:36)
推 ntust661:Rank(A) + Nullity(A) = Dim(A)
→ cha122977:用[ A | I ] =>  [ I | B ] 求不就好了嗎...