Re: [理工] BESSEL遞迴證明

[r19891011 (弧形)]

※ 引述《miniye ()》之銘言：
:                          2v                                 ,
: Given J   (x)+ J   (x)= ---J (x)  and  J   (x) - J   (x)= 2J (x) , show
:        v-1      v+1      x  v           v-1       v+1       v
: that
:             d                      2       2
:            ---[xJ (x)J   (x)] = x[J (x) - J   (x)]
:            dx    v    v+1          v       v+1

                             x
LHS=J J   +xJ 'J   +xJ J ' =---[J (J -J   )+J   (J   -J   )]+J J
     v v+1   v  v+1   v v+1  2   v  v  v+2   v+1  v-1  v+1    v v+1

                             x   2  2
                           =---[J -J   ]-x[J J   -J   J   ]/2 +J J
                             2   v  v+1     v v+2  v-1 v+1      v v+1

                             x   2  2    1
                           =---[J -J  ]+---[J (J  -xJ  )-J  (J -xJ  )]
                             2   v  v+1  2   v  v+1  v+2  v+1 v   v-1
                                        ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ (1)

其中J  -xJ  =xJ -(2v-1)J
     v+1  v+2  v        v+1

同理J -xJ  =xJ  -(2v-1)J
     v   v-1  v+1       v

           x   2  2
整理得(1)=---(J -J  )
           2   v  v+1

所以就得證了(雖然我計算過程可能會出錯…)

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◆ From: 59.121.1.219
推 miniye:THANKS