→ ybite:推一個 02/10 00:24
※ 引述《TKHotaru (阿傑)》之銘言：
: 題目是
: ┌ ┐
: │3 2 0 0 0│
: │2 3 2 0 0│
: A = │0 2 3 2 0│
: │0 0 2 3 2│
: │0 0 0 2 3│
: └ ┘
: 要求出這個三線矩陣的特徵值 我用det(A-λI)去算
: 代到後來只看見一堆3-x..
: 所以我只寫了3
: 總覺得應該有哪裡出了問題
: 請問這題算出的特徵值是多少呢? 謝謝
首先實係數對稱矩陣的特徵值都是實數且可正交對角化.
這題算是很經典的遞迴數列考題了，令 det(An - xI) = 0
則 0 = det(A_n - xI) = (3-x)det(A_(n-1) - xI) - 4 det(A_(n-2) - xI)
所求剛好是 n = 5 的情況, 即
0 = det(A_5 - xI) = (3-x)det(A_4 - xI) - 4det(A_3 - xI)
= (3-x)[(3-x)det(A_3 - xI)] - 4[(3-x)det(A_2 - xI) - 4(3-x)]
= (3-x){(3-x)[(3-x)det(A_2 - xI) - (3-x)]} - 4[(3-x)(x-5)(x-1) - 4(3-x)]
= (3-x)^3 (x - 5)(x - 1) - (3-x)^3 - 4(3-x)(x-5)(x-1) + 16(3-x)
剩下解方程式應該不難, 留給你吧.
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