[理工] [線代]一些問題

[death888 (ZZZZ)]

1.let v1,..,vp be vectors in nonzero finite dimensional vector space V,
  and S={v1,...,vp}

If S is linear independent,then S is a basis for V

請問這為什麼錯

2.http://ppt.cc/LK9,

第18題四個選項可以詳細說明一下嗎

3.A:3 by 3 matrix is symmetric and has eigenvalues λ1=1 λ2=2 λ3=0

eigenvector for λ1 is v1=[1 -1 1]^t and for λ2 is v2=[1 1 0]^t

Determine the matrix A

4.另外算ker的時候 小黃都用一種可以砍掉某列某行再去看倍數關係直接寫出基底

一直搞不懂那怎麼做 請問可以舉個例子說明一下嗎

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◆ From: 111.250.215.32
※ 編輯: death888        來自: 111.250.215.32       (02/16 00:27)
推 annheilong:1. V的basis可能是{v1, ..., vp, vp+1, ..vn}
→ annheilong:2. W=R^2, S is subset of W, S={(x,0)|x is real num}
→ annheilong:2不知道對不對..
→ annheilong:想知道2的答案有哪些?
推 harrypotter2:第一題沒說是生成集  基底必須L.I.且為空間的生成集
→ harrypotter2:第三題 因為是對稱矩陣 第三個特徵向量用前兩個的外
→ BenLinus:(A)F, 考慮 W 為 over field C(複數) 的 vector space
→ harrypotter2:積去求 然後再做A=PDP-1 求得
→ BenLinus:(B) T, Finite dimension, vectors in basis 有限
→ BenLinus:(C)F, W = L(S,T); dim(S)=m, dim(T)=n 則 dim(W)=mn
推 hunter0904:我覺得A舉 R2不是R3的子空間比較好
→ BenLinus:(D)可能是F, 考慮 W=P(polynomial),其subset N 線性獨立?
→ BenLinus:@@ 為什麼不是?
推 hunter0904:一個是2個括號(X,Y) (X,Y,Z)
推 annheilong:hunter大，A 他寫 for some n
→ BenLinus:我想到了, D是False, 取subset 為 Z, 係數1總和 0
→ hunter0904:D一定錯  用一個單一向量就可以生出無限多個
→ hunter0904:對吼 我看錯題目 抱歉 希望我考試的時候不要眼殘= =
推 annheilong:其實我上面舉的是D的反例
→ BenLinus:R2一定是R3子空間吧, R2被包含於R3, R2上向量+*都封閉啊
推 hunter0904:沒包含 小黃說的
推 BenLinus:單一向量生出無限多個, 這樣dimension不才等於1而已 XD
→ hunter0904:我是說 你從無線多個基底裡面找一個 來生出無限多個
→ BenLinus:但他已經有說 W 是 vector space 所以一定過原點...
→ hunter0904:向量@@
→ BenLinus:噢噢 了解 orz
→ death888:請問第三個特徵向量用前兩個的外積去求 這是哪邊的定理?
→ death888:還有外積怎麼做 我忘光了orz
推 annheilong:http://csm01.csu.edu.tw/0166/Math3/532.htm 外積
推 harrypotter2:因為  實對稱矩陣  相異特徵值對應的特徵向量成正交
推 annheilong:全部嗎?
推 shareba:R2不是R3子空間
推 hunter0904:不用做外積吧 設(a,b,c)跟另外兩個內積=0也可以
→ BenLinus:噢不, 我是指過原點的 R2   sorry沒講清楚 orz
→ death888:樓上點醒我了= = 謝謝!
→ death888:是樓樓上XD
→ hunter0904:理由也是因為它是symetric 相異eigenvalue相異
推 harrypotter2:嗯 可以證得出來
→ hunter0904:垂直 我又打錯字 = = 全省最弱..\
推 ntust661:樓上= =
推 hunter0904:樓上是誰0.0?
→ annheilong:結果沒人回答原PO第四個問題
推 harrypotter2:完全看不懂第四題的算法...
→ death888:我不太會形容XD 上課的時候我也覺得很神奇orz
推 hunter0904:那種就是看rank 你看到3*3 rank是2 然後有兩列不成比例
→ hunter0904:就可以把第三列槓掉
推 annheilong:就是做行/列運算，盡量做出0
→ hunter0904:還有一種
→ hunter0904:1 2
→ hunter0904:0 0
→ hunter0904:就直接用眼睛看 2 -1
→ annheilong:喔我錯了:D 不過rank怎麼知道的?
→ hunter0904:有點像是讓他們垂直的感覺  a*1+2*b = 0
→ hunter0904:看題目吧 有時候你剛好有算出來rank或者他重根數是1
→ hunter0904:然後kernel剛好一維 rank就2維
→ hunter0904:說真的全省沒幾個可以像老師那麼順的 所以不用怕
→ death888:感謝 還是認命慢慢算比較安全一點 = ="
推 harrypotter2:其實3*3知道沒滿秩 三列中兩兩沒成比例  隨便刪一列
→ harrypotter2:剩下兩列做外積 就是Null了 因為找Null(A)跟找RS(A)
→ harrypotter2:的正交補集意思一樣
→ death888:對了再問一下第三題 如果矩陣沒有symmetric
→ death888:那有辦法求出第三個eigenvector嗎
推 shareba:過原點的也不叫R2唷  是R3中2維子空間
推 hunter0904:如果沒有symmetric就做不出來 這題要垂直才能做
→ hunter0904:不然就是複數的時候是normal也可以做
→ dy957:第三題一定可以做..特徵空間必定是獨立子空間..
→ BenLinus:回sh大, 噢我搞錯了... 感謝你! ^^
推 harrypotter2:普通方陣做不出來  獨立不一定正交   至少要normal
→ anagram:都有三個特徵值了為何一定得normal
→ anagram:找跟前面兩個獨立的特徵向量不就好了
→ anagram:只是答案不唯一吧
→ sneak: 全部嗎? https://daxiv.com