Re: [理工] [線代]交大100

[SkullMaster (SM)]

: : 1. A,B,A+B,都是n*n可逆矩陣, then A^-1 +B^-1 也可逆
: : 我是選FALSE 總覺得舉得出反例 不過想不到
:     應該是對的
:     set X is an inverse matrix of  A^(-1) + B^(-1)
:     then  [A^(-1) + B^(-1)]X = I     ( I € C^(nxn)  )
:     so  ┌ [A^(-1)]X + Y = I    ____(1)    by introducing a matrix Y
:         └ Y = [B^(-1)]X        ____(2)
:     by (2),  X = BY
:     then by (1),   [A^(-1)]X + Y = I
:                 → [A^(-1)]BY + Y = I
:                 → BY + AY = A
:                 → Y = [(A+B)^(-1)]A    since (A+B) is invertible
:      hence X = BY
:              = B[(A+B)^(-1)]A

這題我當時是這樣想的

 -1      -1    -1    -1
A  (A+B)B   = A   + B

兩邊取行列式

     -1              -1          -1    -1
det(A  )det(A+B)det(B  ) = det( A   + B  )

由於A,B,A+B皆可逆

所以行列式皆不為0

          -1    -1
所以det( A   + B  ) ≠ 0

     -1  -1
所以A + B  可逆

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◆ From: 111.248.219.79
推 iamhebe:這個解法好了解多了
推 chencccc:用想的 A,B可逆 相加A+B還是可逆 A^-1,B^-1可逆
→ chencccc:那A^-1+B^-1 兩個可逆相加還是可逆
→ SkullMaster:A,B可逆,A+B不一定可逆吧
→ death888:考試時我也用原po的想法解 可是卡住= ="
→ death888:A+B可逆是題目給的
→ chencccc:題目不是說A,B,A+B皆可逆
→ SkullMaster:喔 抱歉= =