[理工] [線代] 台大100-資工

[ybite (小犬)]

趁著對題目有印象時趕快發問


let A_n = [ 1/2  1/3  1/4  ...   1/n   ]
          [ 1/3  1/4  1/5  ...   1/n+1 ]
          [ ...  ...  ...  ...   ...   ]
          [ ...  ...  ...  ...   1/2n  ]

求det(A_{n+1}) / det(A_{n}) = ?

看起來很像遞迴問題又不是遞迴問題，有點不知道要怎麼解... qqqqqqqq

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順便提供一題答案qqqqqqq

v = [1,2,3,4,5]^T u = [5,4,3,2,1]^T
求I_{5} + [v u][u^T v^T]所有的Eigenvalue

我是用硬爆算，算出來是 1, -19 和 91
剛剛跑了一下Eigenvalue calculator看起來也是對的

但是有更好的作法嗎？

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◆ From: 220.131.201.249
推 chencccc:下面那題跟你算不一樣 我錯了.....= =
→ juan19283746:錯了QQ...
推 jameschou:我算的跟你一樣 我也是整個展開算= =
→ jameschou:反正難得時間很充裕..
→ jameschou:嚴格來說是91,-19,1,1,1對吧
→ KiroKu:算一半就放棄了
推 SkullMaster:我只算到tr(A)=75就放棄了...orz
推 ubuntu123:我也是算1 1 1 -19 91  上面那題我好像寫1/200?
推 QoiiwWe:我是先不算I暴力得到 0 0 0 -20 90 在加 一
→ QoiiwWe:其實不算I還滿好暴的
推 SkullMaster:樓上方法比較好..沒想到啊~~
→ doom8199:(1+<u,v>+<u,u>) , (1+<u,v>-<u,u>) , 0,0,0
→ doom8199:                                    1,1,1  打太快了QQ
→ doom8199:另外 A_n 的index有給錯吧? , 它並非 square matrix
推 xygod:你是出題老師嗎?(1+<u,v>+<u,u>)是怎麼想到的
推 SkullMaster:A_n第一行最下面是1/n
→ ybite:@doom8199 我題目沒記對，他不是Square matrix!?
→ ybite:另外這題詳細希望qq
→ doom8199:那樣的表示法是 (n+1) by (n-1) 吧
→ doom8199:至於後面那題原po打的也有些怪怪的，不過若沒誤解題意
→ doom8199:A-I = uv^T + vu^T , 易證  span{u,v}=Im{A-I}
→ doom8199:所以 rank(A-I)=2 ,  然後分別列出 Au 和 Av
→ doom8199:用聯立方程組兜一下就可以算出 eigenvalue 了
推 KiroKu:題目沒錯吧 就是個n*n的矩陣
推 jameschou:題目有錯啦 最右邊是1/(n+1) 最下面左邊也是
→ sneak: 題目沒錯吧 就是個n* https://daxiv.com