→ masterone:謝分享 02/26 17:48
※ 引述《aacvbn (u)》之銘言：
: Show that if a,b, and c are positive constants,
: then all solutions of ay''+by'+cy=0
: approach zero as x→∞. Does this conclusion hold
: if either b=0 or c=0 ?
: 感謝高手相救~
mt
y = e
2
am + bm + c = 0 , a > 0 , b > 0 , c > 0
-b±√(b^2-4ac)
m = ────────
2a
若 (b^2-4ac) > 0
(-b+√(b^2-4ac))/2a x (-b-√(b^2-4ac))/2a x
得 y = c1 e + c2 e
(-b-√(b^2-4ac)) < 0 , But (-b+√(b^2-4ac)) 不知道@@...
若 (-b+√(b^2-4ac)) < 0
√(b^2-4ac) < b (不可能比 b 大)
2 2
b - 4ac < b , 代表 4ac > 0 ， a > 0 , c > 0 , 則 4ac > 0
故 0 < √(b^2-4ac) < b 則 x →∞ 都會收斂
2
[ 0 < b - 4ac < b ]
若 (b^2-4ac) = 0
-b/2a x -b/2a x
y = c1 e + c2 x e
-b/2a x
-b/2a < 0 ，然後 x 比 e 增長還慢，
2
故 b - 4ac = 0 會收斂
若 (b^2-4ac) < 0
-b/2a x
y = e [ c1 cos√(4ac-b^2)x + c2 sin√(4ac-b^2)x ]
-b/2a x
因為 cos sin 為週期函數 ， e 是遞減函數
故， (b^2-4ac) < 0 也會收斂
2
可知， -∞ < b^2-4ac < b 會收斂
因為 -∞ < -4ac < 0 , 0 < ac < ∞ ( a > 0 , c > 0 )
自動成立
所以 a b c 只要是正值，則 x→∞ 都會收斂到 0
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