※ 引述《SS327 (土豆人)》之銘言：
: 請問一下二項式 . 廣義二項式 跟負二項式
: 他們的公式是什麼跟使用條件
: 他們都是歸納法證出來的嗎
(1)當 n 屬於 Z+ ( i.e. n是正整數 )
n!
1. 二項式係數 : C(n,r) = ￣￣￣￣￣￣￣￣ , 0 <= r <= n
r! * (n-r)!
n(n-1)(n-2)˙˙˙(n-r+1)
= ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
r!
2. 二項式定理 : (1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)x + C(n,2)x^2 +˙˙˙ + C(n,n)x^n
3. 怎麼來的 : 二項式係數比較像是從乘法原理導過來, 再用符號來簡記
歸納法嘛...不像耶！不然您可以找數學系的討論看看
4. 用途 : 求組合數 (具有組合意義)
(2)當 n 屬於 R ( i.e. n是實數 )
n(n-1)(n-2)˙˙˙(n-r+1)
1. 定義二項式係數 : C(n,r) = ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
r!
C(n,0) = 1
2. 怎麼來的 : 拿(1)的第二種表示法來定義
3. 用途 : 當n不是 正整數, 需要代數意義時
e.g.利用生成函數求catalan number, 其中需解(1-4x)^(1/2)
∞
(1-4x)^(1/2) = Σ C(1/2, n)(-4x)^n
n=0
∞ (1/2)(1/2-1)˙˙˙(1/2-n+1)
= Σ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ (-4x)^n
n=0 n!
(3)取(2)裡面一個特例來討論 :
當 n 屬於正整數 求 C(-n,r) (就是前面那個是負整數時)
(-n)(-n-1)(-n-2)˙˙˙(-n-r+1)
C(-n,r) = ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
r!
(-1)^r (n)(n+1)(n+2)˙˙˙(n+r-1)
= ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
r!
(-1)^r (n+r-1)!
= ￣￣￣￣￣￣￣￣
(n-1)! r!
= (-1)^r * C(n+r-1,r)
特別注意的是 最後的"C(n+r-1,r)" 是有組合意義的那個二項式係數
所以綜合以上
大概就是有組合意義的二項式係數
和具代數意義的廣義二項式係數
(其實我不知道負二項式是什麼...不過我猜您應該是指第三個)
另外特別注意這個 :
∞
(1+x)^(-n) = Σ (-1)^r * C(n+r-1,r) * x^r
r=0
和 廣義二項式有關的expansion 會延伸到 無限項
(比較二項式定理只到 n 項)
如果還是沒sense...書上有關生成函數的部分都有 可以查書唷！
希望有幫上您的忙
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