推 foodyoytk:了解了...原來是怕什麼恆等式...非常感恩 03/27 12:41
推 SS327:有了n大..怕什麼變不用怕@@ 03/27 17:36
y※ 引述《foodyoytk (元)》之銘言：
: 如題:求F(x)=|x|於(-L，L)內之Fourier series，並求
: 1 1 1
: (1)1+____+___ +___ 這邊我ok
: 3^2 5^2 7^2
: 1 1 1
: (2)1+___ + ___ + ___ 這邊算半天不知道怎推過去~~~~
: 3^4 5^4 7^4
: 請各大大不吝嗇指導.....
: (ans是說將Fourier series 兩邊同乘x 並積分)
: 不懂以上這樣推算的觀念.......
: 拜託各位了.....
偶函數
2
1 L 1 L L
a = ── ∫ F(x) dx = ── ── = ──
0 L 0 L 2 2
2 L nπ
a = ── ∫ F(x)cos──x dx
n L 0 L
2 L nπ L 2 nπ │L
= ── [ x ──sin──x - (──) -cos──x ] │
L nπ L nπ L │0
2
2 L L 2 L 2
= ── { [ ── sin(nπ) + (──) cos(nπ) ] - [ 0 + (──) ]}
L nπ nπ nπ
2
2 L
= ── [ ──── {cosnπ - 1} ]
L (nπ)^2
2L n
= ───── { (-1) - 1 }
(nπ)^2
-4L
when n is odd , ─────
(nπ)^2
when n is even , 0
L ∞ -4L nπ
F(x) = ── + Σ ──── cos(── x)
2 n=odd (nπ)^2 L
2
π
x = 0 , 可得 ──
8
但是我需要 n^4 阿~~~
所以利用 Parseval Identity
2 2
L 2 L ∞ 16L L
∫ F (x) dx = ── L + Σ ───── ──
0 4 n=odd n^4 π^4 2
3 3 3
L L 8L ∞ 1
── - ── = ── Σ ──
3 4 π^4 odd n^4
4
∞ 1 π
Σ ── = ──
odd n^4 96
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