推 learnerQQ:感謝您 04/18 08:09
※ 引述《learnerQQ (小銓)》之銘言：
: 太久沒有算了 但是用 wolfram alpha又不知道怎麼弄出來
: EX:
: Find the Taylor serise at 0 for the given functions
: and the radius of convergence
: (1) f(x) = e^x (不會收斂半徑)
: (2) f(x) = ln(1+x) (均不會)
: (3) f(x) = cosx (不會收斂半徑)
: 求救各位大哥 幫忙解惑 感謝
0.0 只要知道泰勒級數展開後，收斂半徑就是展開點到最近的奇異點距離。
x
(1). f(x) = e , 是在任何x，都沒有奇異點，硬要說就只有無窮遠處算= =
2 3 4 n
x x x x x
所以 e 展開成 1 + x + ── + ── + ── + ... + ───
2! 3! 4! n!
收斂半徑無窮大。
(2). f(x) = ln(1 + x)
1 2 3 4
是 g(x) = ──── = 1 - x + x - x + x - ... 的積分
1 + x
2 3 4 5 n
x x x x x
所以 f(x) = x - ── + ── - ── + ── + ... + ──
2 3 4 5 n
因為這題用泰勒級數解有點麻煩=3=
直接積分就很簡單啦!
另外它的收斂半徑，你可以注意 f(x) = ln(1 + x) 是不是在 x = -1 是奇異點
因為 f(-1) = ??? 不知道怎麼寫，所以我稱 x = -1 是奇異點。
然後在上一題我有說收斂半徑就是展開點到離展開點最近的奇異點距離。
x = 0 , 到 x = -1 的距離是 1 ，所以收斂半徑 = 1
(3). f(x) = cos(x)
沒有奇異點，所以收斂半徑無窮大 (整個實數軸)
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雖然收斂半徑也可以用比值檢定法，根值檢定法來看...可是感覺很麻煩XD
希望您看的懂^^
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