→ jaychouyo:好像有點瑕疵 我把XY當獨立了 04/18 22:07
→ jaychouyo:P(X<t<Y)=P(X<t)-P(X<t,Y<t) 04/18 22:13
→ jaychouyo:P(Y<t<X)=P(Y<t)-P(Y<t,X<t) 04/18 22:13
→ jaychouyo:所以右式裡面=P(X<t)-P(Y<t)=Fx(t)-Fy(t) 04/18 22:14
→ jaychouyo:等於左式裡面 這樣應該OK 04/18 22:15
※ 引述《yeanla (微笑的魚)》之銘言：
: Suppose that X and Y have first moments
: prove E(Y)-E(X) = ∫∞ [ P(X<t<Y)-P(Y<t<X) ] dt
: -∞
: 寫完期望值定義就寫不太會了
: 請問各位這題大概要怎麼證明呢??
: 謝謝
∞ ∞ 0
E(X)=∫ xf(x)dx =∫ xf(x)dx +∫ xf(x)dx
-∞ 0 -∞
(1) (2)
∞ x ∞ ∞ ∞
其中(1)=∫ ∫ f(x)dtdx =∫ ∫ f(x)dxdt =∫ [1-Fx(t)]dt
0 0 0 t 0
0 x 0 0 0 t 0
(2)=∫ ∫ f(x)dtdx = -∫ ∫ f(x)dtdx = -∫ ∫ f(x)dxdt = -∫ Fx(t)dt
-∞ 0 -∞ x -∞-∞ -∞
∞ 0
所以E(X)=∫ [1-Fx(t)]dt -∫ Fx(t)dt
0 -∞
∞ 0
同理E(Y)=∫ [1-Fy(t)]dt -∫ Fy(t)dt
0 -∞
∞
=>E(Y)-E(X)=∫ [Fx(t)-Fy(t)]dt
-∞
∞
=∫ [P(X<t)-P(Y<t)]dt
-∞
∞
=∫ P(X<t)[1-P(Y<t)] - P(Y<t)[1-P(X<t)] dt
-∞
∞
=∫ P(X<t)P(Y>t) - P(Y<t)P(X>t) dt
-∞
∞
=∫ P(X<t<Y) - P(Y<t<X) dt
-∞
想法是這樣 參考看看
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.45.100.182