Re: [理工] [工數]laplace

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《SS327 (土豆人)》之銘言：
: Q1:http://tinyurl.com/3d65nqe
: 一個2階ODE代了2個I.C不是解答唯一嗎???像方法二算的那樣嗎??
: 為什麼方法一有時候用終值定理無法決定未定常數C??用拉式解的時候
: C可以為任意常數..解答的算法直接令C=0解出來跟方法2一樣...
: 如果令其它常數就不一樣了阿，這樣解答會無限多哩..哪裏出錯了 ???

    用 initial (or final) value thm.  發現算不出 C

    只代表方法不適用

    那你就需要用其它方式求得 C

                                        14
    例如你解出來是   Y(s) =  C*H(s) + ───
                                       s^3
                -1
    令  h(t) = L  {h(s)}

    雖然 h(t) 存在，只是可能寫不出一個漂亮的 form

    但是把 Y(s) 對 s 做 ILT:

        y(t) = C*h(t) + 7(t^2)u(t)

    由 i.c. 可推得   C=0  or  h(0)=0  or  h'(0)=0

    由 existence and uniqueness 可知若  h(0) = h'(0) = 0  會產生矛盾

    因此 C=0



    或是也能用比較的方式解出 C

: Q2:http://tinyurl.com/43s58cu
: 單位部階的定義是哪一種阿??我的書怎麼2種定義都有阿(2.3本一根跟2都有)...
: 如果是定義一h(t)圖在h(c)沒辦法表達阿????
: 如果圖是   http://tinyurl.com/3whmvqn  上面還下面可以表達成f(t)阿????

    看需求

    其實在很多領域上都會定義:   u(x) = ┌ 1            if x>0
                                       │ undefined    if x=0
                                       └ 0            if x<0


    以理論上來說

    涉及到 x=0 極限的時候

    我們所關心的對象會是  xε N(x,δ) , 而非 x=0 本身


    以應用層面來說

    我們會用一些訊號來逼近 u(x)

    而且我們所會使用的訊號是 x>0 or x<0 的區間

    對於 x=0 是多少就不是所關心的對象

    (在 x=0 的值會根據用不同的訊號逼近而造成不同的結果)



    因此考試的時候說明清楚 u(x) 在你的計算過程中定義為何就可以


: Q3:http://tinyurl.com/3udgv7m
: 這是課本指數階函數的定義
: 計算方式為什麼只計算t接近無限大時候??按照大括號的寫法
: 不是也要檢查t接近0的時候嗎????

    所謂 f(t) 是指數階函數的定義

    在講的是  g(t) = |f(t)|/exp(c*t)  is bounded above for all tεD


    所以第一件事情是你要給定 "在探討哪一段定義域區間" ?  (也就是 D)

    例如  f(t) = 1/√t   在 tε(0,∞)  下, 不是指數階函數

    但是  f(t) = 1/√t   在 tε[1,∞)  下, 是指數階函數



    所以第二件事情是 要判斷一個函數是不是指數階函數

    你需要考慮 "所有你想探討的區間"



    只是對於 Laplace Transform 存在性的 sufficient condition

    有一條是講說 f(t) 在 tε(0,∞) 下需為 指數階函數

    因此像剛剛舉的例子   f(t) = 1/√t

    它就非 指數階函數

    原因的話你就必須把 tε(0,∞)  都納入考慮

    而非只有考慮 t→∞ 或 t→0+


      ps:  L{1/√t} exists

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.211.136
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.211.136      (05/03 13:12)
推 SS327:由 existence and uniqueness 可知若  h(0) = h'(0) = 0
→ SS327:會產生矛盾   這一句我看不懂哩
    http://ppt.cc/8eQb  (我上網隨便蒐的 = =ll)

    原題目可以證明解存在且唯一
    若今天  h(0) = h'(0) = 0 成立
    代表  i.c. 給你的資訊，不足以推得  C = 0
    也就是原 o.d.e.  解不唯一而 contradict 該 thm.

    所以可知  h(0) 或 h'(0) 不為 0
    假設 h(0)≠0 好了
    那由  y(0)=0 可知   C*h(0) = 0 → C = 0

    若 h'(0)≠0 也是一樣的推論


推 Ertkkpoo:請問為何最後一行此拉式轉換存在? 他是 非指數階函數
    因為那是 Laplace Transform 存在性的 "sufficient condition" 之一
    f(t) 在 (0,∞) 下非指數階函數，不代表 L{f(t)} 一定不存在
    但是  f(t) is of exponential order on tε(0,∞)
                & piecewise cont. on tε[0,∞)
    一定確保 L{f(t)} 存在且唯一
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.211.136      (05/03 14:53)
推 SS327:謝謝d大..用唯一性找c我會嚕
→ SS327:比較係數找C是把y(t) = C*h(t) + 7(t^2)u(t)代入原ODE比較嗎
推 SS327:d大http://tinyurl.com/3whmvqn  2種圖形的拉式會一樣嗎??
→ SS327:還是部階函數u(x)..在應用上不管斷點處為如何都不去理它???
→ ntust661:推推
推 Ertkkpoo:謝謝囉!
推 SS327:.3Q