Re: [理工] [工數] LAPLACE解ODE?

[mp8113f (丹楓)]

※ 引述《ghjk918171 (匿名)》之銘言：
: 第一題
: y"+y'+5/4y=f(t)
:         ︴1   0≦t<π
:  f(t)＝ ︴
:         ︴0   π≦t
: y'(0)=y(0)=0
: 第二題
: y"+2y'+5y=2t-δ(t-π)
: y'(0)=5  y(0)=-2
: 請高手幫忙解答   謝謝


(1)
   只有在0≦t< pi 有值

   y'' + y' +5/4y = u(t)-u(t-π)

    2                    -0s      -πs
  (s + s + 5/4)Y = 1/s* e  + 1/s*e

  　　　　1           -0s         　1          -πs
      —————   * e    -     —————  * e
 Y=        2   2                    2   2
     [(s+1) + 1 ]s　　　　　　[(s+1) + 1 ]s
    ^^^^^^^^^^^^^^^
     ↑前後兩項都相同　處理一項　之後再帶入後項t換成t-π即可
       後面我就只處理前項



            -1  1        1
y(t) =u(t)*L  [---- * ---------- ] + _____________________
                       2
                s     s + s +5/4

             t  -1        1
      = u(t)∫ L  [------------- ] dt + __________________
             0            2
                   (s+0.5)  + 1


            t        -0.5t
      =u(t)∫ sint* e     dt   + _________________
            0



             -0.5t
      =-4/5[e    (cost+0.5sint) -1]* u(t)

            -0.5t
       +4/5[e    (cost+0.5sint) -1]      * u(t-π)
                                   t=t-π
                                                 為解 #


(2)
     2                       2    -πs
   (s + 2s + 5)Y = 1-2s + 2/s  - e
　　　

           1-2(s+1)+2                   1                    1     -πs
   Y =  ---------------   +   -------------------   -    ---------e
                2  2            2          2   2             2  2
           (s+1) +2            s   * [(s+1) + 2 ]        (s+1)+2
        ^^^^^^^^^^^^^^^      ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^       ^^^^^^^^^^^
        ↑可直接返轉換      ↑此部份用部份分式拆開　　　↑反轉換別忘記
　　　　　　　　　　　　　　　內容很強大..我省略 　　     t要改成t-π
                                                         外面乘上u(t-π)


      最後總整理

                       -t              -t                            -(t-π)
   y(t) = 69/50*sin2t*e  - 46/25cos2t*e  + 2/5t -4/25 -0.5sin2(t-π)e  u(t-π)
          ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
                ↑此部分基於訊號概念　t>0才有值 可以補上u(t)





  結論: 全身細胞死了一半　　　　

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◆ From: 203.64.181.204
推 hsnulight:神人
推 ghjk918171:感謝！
→ mp8113f:有些部分好像筆誤 我修改一下
※ 編輯: mp8113f         來自: 125.224.77.201       (06/02 22:21)
→ ntust661:XDDDDD
→ ntust661:推!
→ ntust661:真的不是人在玩的Laplace transform
推 kenblues:真的~第一次算就一張A4再見了XD
推 rdchen1124:mp8113f(神)也是人 只是做到人做不到的事 所以成了神
→ mp8113f:= ="