Re: [理工] [工數][ode]

[mp8113f (丹楓)]

※ 引述《asdf322505 ()》之銘言：
:                           2 x
: (x+3)y''-(2x+7)y'+2y=(x+3) e
:          2x     -2x-7      x
: ans;y=c1e  +c2-----------+e (-x-4)
:                    4
: 這題是用降皆法求嗎?



看到這種非齊性方程式  左邊沒有因變數相乘 也很單純是自變數相乘項

可以先試試看令右邊=0 先找到ㄧ個齊性解 在另y = uφ 找到非齊性解

這是以根找根的的方法
                        λx
觀察一下可以發現令 y = e   可以找到一解 λ = 2

至於為什麼是令指數  指數不管微分幾次都還是指數本身

所以最後exp一定會消掉剩下簡單的一元一次找根
       2x                      2x                       2x
令y = e  * u      y' = (u'+2u)e    y''= (u'' +4u' +4u) e

代入方程式

整理得
                            2 -x
(x+3) u'' + (2x+5)u' = (x+3) e
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
得結果還是降階的形式
同除x+3
        2x+5              -x
u'' +  ------  u' = (x+3)e
        x+3

         2x                     2x
        e                -x    e       x
 ( u'* ---- )'  =  (x+3)e   * ----  = e
       x+3                    x+3

兩邊積分
        2x
       e       x
   u'*----  = e   + c1
       x+3
      ^^^^^
      ↑丟去右邊 再積分一次

              -x       -2x-7   -2x
   u= - (x+4)e  + c1 [------] e   + c2
                        4
         2x
因y = u*e

     2x         x       -2x-7        2x
故u*e  = -(x+4)e  + c1 [-----] + c2*e
                          4           #

-----------------------------------------------------------------
提供d大的解法 分解降階
原本我以為不能 後來發現可以直接降階 0.0
            (2x+7)        2            x
原題 y'' -  ------ y' + -----y = (x+3)e
              x+3        x+3

                          2 x
→[(x+3)D-1][D-2]y = (x+3) e
            ^^^^^^
             令u = [D-2]y

                      2 x
→[(x+3)D-1]u  = (x+3) e

                      2 x
→(x+3)u' - u  = (x+3) e


                 1               x
整理得結果(u  * ---  ) ' =(x+3) e
                x+3

           2x    -2x              x
         [e  (y*e  )' ]' = (x+3) e
之後跟前面做法相同　　就不多打了
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◆ From: 203.64.181.204
※ 編輯: mp8113f         來自: 203.64.181.204       (06/07 16:07)
推 doom8199:要降階也是可以. [(x+3)D-1][D-2]y = (x+3)^2 *exp(x)
→ doom8199:=>┌ (x+3)u' - u = (x+3)^2 *exp(x)
→ doom8199:  └ y' - 2y = u
→ mp8113f:這樣你也可以分解出來  好猛 0.0
※ 編輯: mp8113f         來自: 203.64.181.204       (06/07 17:22)
※ 編輯: mp8113f         來自: 203.64.181.204       (06/07 17:30)
推 asdf322505:感謝各位大大的幫忙