作者mp8113f (丹楓)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] 一題 Frobenius series solution ?
時間Fri Jun 10 22:14:15 2011
※ 引述《K7788 (桶三洨!!!)》之銘言：
: Please use the power series centered at x = 0 to solve the following equation:
: (1) Can x^4*y'' + y = 0 be solved by the above power series? Why?
: (2) If it can be solved , please solve it directly. If not,you may use the
: change variable x = 1/t to solve x^4*y'' + y = 0 .
: 第二小題答案為 y = c1 x cos x^-1 + c2 x sin x^-1
: 可是我算出來的答案 y = c1 cos x^-1 + c2 sin x^-1
: 可是我用詳解的答案驗算又正確
: 不曉得我錯在哪?
我幫你改題目了 真不好意思 0.0
由於懶的再更新一次
就拿我打的和你的比對一下吧
最後答案是差在sint sinht cost cosht ~
4
先看原式 x y'' - y = 0
1
y'' - ---- y = 0 由於x=0不是正則奇異 不能對x=0做Frobenius展開
x^4
題目很好心的告訴你用1/t轉換
以上廢話
dy dy dt 2 dy
t = 1/x ----=---*-- = -t ----
dx dt dx dt
2 2
d y 2 2 d y dy
----- = t [t ----- +2t----]
dx^2 dt^2 dt 帶入原式子
2
d y dy
新式成為 t---- + 2----- - ty 可以對t=0做展開
dt^2 dt
r ∞ n
令y = t Σ c t 帶入
n=0 n
r-1 r ∞ n+r-1
整理 = r(r+1)c t + (r+1)(r+2)c t + Σ[(n+r)(n+r+1)c -c ]t
0 1 n=2 n n-2
^^^^^^
r=0,-1
Cn-2
取後面級數C = -------------- n=2.3.4....., C =0
n (n+r)(n+r-1) 1
會發現C =0 C = C = ......... =0
1 3 5
r Co 2 Co 4
y= t [C + ------------t + ---------------------t +.......]
0 (r+2)(r+3) (r+2)(r+3)(r+4)(r+5)
-1 1 2 1 4 cosht
取r=-1 y = t C [1 +---t + ---t +...] = C * -----
1 0 2 4! 0 t
Co 1 3 1 5 Co
取r=0 y = ---[t + ---t + ---t +......] = --- sinht
2 t 3! 5! t
剛剛假設了t=1/x
故答案為 1 1
y = C x cosh --- + C x sinh ---
1 x 2 x
_____________________________#
有錯的話請指證 ..
用電腦打很容易漏打
另外這題是學校考題嗎 ..
個人覺得這題經典的地方在於必須判斷該不該用Fro展開
要自己假設t=1/x下去算
不過題目竟然給了 難度就下降很多 ...0.0'
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◆ From: 125.224.80.104
※ 編輯: mp8113f 來自: 125.224.80.104 (06/10 22:16)
推 K7788:感恩 我知道了 二皆為分那邊我換錯了 06/10 22:17
→ mp8113f:恩 以後可以用兩種方法驗證 一個是死板的dy/dt做 06/10 22:20
→ mp8113f:另外一個就直接在上標加上' 不用用到變數變換 兩個核對 06/10 22:21
推 K7788:對了 你中間符號有錯 導致答案cos變cosh sin變sinh 06/10 22:41
→ mp8113f:沒錯呀 .. 我算是這樣 還是你打錯或是答案給錯 ...0.0 06/10 22:47
推 K7788:+ y 可是你的算式是 -y 06/10 22:51
→ K7788:題目是x^4*y'' + y = 0 但你的好像是 x^4*y'' - y = 0 06/10 22:52
→ mp8113f:恩 真的 ... 那就會變sin和cos了 XD" 真不好意思 06/10 22:56
→ mp8113f:我把內容改題目吧 不過你知道就好了~ 06/10 22:57
※ 編輯: mp8113f 來自: 125.224.80.104 (06/10 22:58)
推 K7788:哈 06/10 22:58
※ 編輯: mp8113f 來自: 125.224.65.227 (06/12 00:45)