推 ntust661:推! 06/13 00:14
推 k0184990:感謝您!!!寫得超仔細~ 06/13 00:20
推 SS327:推 06/13 00:24
※ 編輯: armopen 來自: 123.240.52.111 (06/13 00:45)
※ 引述《k0184990 (追隨夢想..)》之銘言：
: 我想問的是skew-Hermitian matrix得一個證明。
: A屬於C^n*n (n列n行的複數方陣)
: 證明:
: 當n為偶數時,det(A)屬於R (R表示實數)
: 當n為奇數時,det(A)屬於0 或 純虛數
: 請問這個要如何證明呢?
如果你正在準備研究所的話，建議你買一本黃子嘉的線性代數及其應用，
因為這個證明不會的話，基本上，幾乎等同於 「考不上」。回到正題，
要證明這個式子需要幾個定理：
______
(1) 若 A in C^(n x n), 則 det(A*) = det(A)
其中 A* 是 A 的共軛轉置.
(2) 若 A in C^(n x n) 且 a in C, 則 det(aA) = a^n det(A)
因為 A 為 skew-Hermitian，所以 det(A) = det(-A*) = (-1)^n det(A*) (由 (2))
______
= (-1)^n det(A)
______
當 n 為偶數時， det(A) = det(A), 由於複數在加法和乘法之下構成一個體，因此
運算具有封閉性，這保證 det(A) 是一個複數, 因此 det(A) 是實數.
(可簡證如下： 命 det(A) = a + bi, 其中 a, b 為實數, i 為虛數單位，則
a + bi = a - bi => b = 0, 這表示 det(A) = a 為實數).
______
當 n 為奇數時， det(A) = -det(A), 用類似的方法可以發現 a + bi = -a + bi
=> a = 0, 所以 det(A) = bi, 在 b = 0 時 det(A) 是 0, 在 b 不是 0 時，
det(A) 是純虛數，即實部是 0 的複數.
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