作者mp8113f (丹楓)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] 一題FROBENIUS展開式問題?
時間Mon Jun 13 18:43:56 2011
※ 引述《K7788 (桶三洨!!!)》之銘言：
: (1)Find series solution for
: x^2 * y'' + x * y' + ( x^2 - n^2 ) * y = 0
: (2)Find the second solution of (1) by the method of Wronskian.
: 答案 :
: (1) y1 = x^n [ 1 - 1/4 * 1/(n+1) * x^2 + 1/32 * 1/(n+1)(n+2) * x^4 - ..... ]
: (2) 令通解 y = v*y1 ， 得 y2 = y1∫1/(x*y1^2) dx
: 請問有人會做第2小題嗎?
第一題大致上是沒問題 ..
拿較大的根去算出一個獨立解
其實這題我也不是很有觀念
這是屬於Bessel function
先附上一下過程還請高手說明其中奧妙
先配合題目說的使用wronskian
假設當然我們必須知道會有兩個獨立解 一個已知
寫出下列式子y=c1*y1 + c2*y2
首先參數變異主要是在找特解
但其實這題是齊性方程式 並無特解存在
儘管如此 寫下以下步驟
｜y1 y2 ｜｜φ1'｜ ｜0｜
｜y1' y2'｜｜φ2'｜ ＝ ｜0｜
整理會發現 y1 y2
---- = ----
y1' y2'
已知是y1
兩邊對等比例關係 假設y2 = v(x)*y1 v≠constant下去找根
2 2 2
原式x y'' + xy ' + (x - n )y=0
y = v*y1 , y'=v'*y1 + v*y1' , y'' = v''*y1 + 2v'*y1' + v*y1''帶入
2 2 2 2 2
(x * y1)v'' + (2y1'* x + y1*x)v' + (y1''x +y1'x + x*y1-n *y1) = 0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
↑為0
y1' 1
v'' + (2--- + --- ) v' = 0
y1 x
1
可得v = c3∫ ----- dx + c4
2
x*y1
1
y2= v * y1 = c3*y1*∫ ----- dx + c4*y1
2
x*y1
y = c1*y1 + c2*y2
1
= c1*y1 + c2* [c3*y1∫ -----dx + c4*y1 ]
2
x*y1
_________________
｜ 1 ｜
y = k1 * y1 + k2 * ｜[y1*∫---- dx] ｜
｜ 2 ｜
｜ x*y1 ｜
｜_______________｜
↖題目所求
= k1 * y1 + k2 * y2
請神人們留下重要觀念 感謝 ! 這只是我的淺見
如有錯請幫更正><"
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◆ From: 203.64.181.204
推 K7788:感謝大大的解答 雖說y2算出來是通解y的答案 但y有y1與y2 06/13 23:15
→ K7788:組合 y與y1也算是線性獨立了 題目想表達的應該是這樣 06/13 23:16
→ K7788:通解算出來也算是第二個解 他應該是把通解當成第二個解的意 06/13 23:18
→ K7788:思 先感謝大大的回答 06/13 23:19
→ mp8113f:我的想法也是如此 畢竟要在齊性方程找到第二個解 06/13 23:25
→ mp8113f:好像似乎不太對 另外乘上V是x組成的函數 確保線性獨立 06/13 23:26
→ mp8113f:如果是乘上係數 兩個解依然線性相依 不會是解 06/13 23:26
→ mp8113f:我有地方還在思考 y2=v*y1時 到底當通解是對還錯 ... 06/14 16:11
→ mp8113f:如果當通解會變成y =c1*y1 + c2*y 好像有矛盾~"~ 06/14 16:11
→ mp8113f:我編輯一下好了 06/14 16:21
※ 編輯: mp8113f 來自: 203.64.181.204 (06/14 16:32)
推 K7788:水喔 你真強 06/14 19:03