※ 引述《Berkeley2013 (Berkeley2013)》之銘言：
: 請教一題complex fourier series的題目
: f(x)=x^2
: -pi<x<pi
: 我算出Cn=-(pi/n)*sin(npi)+(2/n^2)*cos(npi)
: sin那一項等於0
: 後面那一部分等於2*(-1)^n/n^2
: 可是解答為(pi)^2/3+2sum((-1)^n/n^2)
: 不知道前面那個(pi)^2/3怎麼求得
: 希望有人能幫忙看一下
: 非常感謝
我先根據原始定義推 ..
在-π < x < π
2 -inπx/π
∫x * e dx
C = --------------- 積分上下限-π ~ π
n ∫ 1 dx
______________________
↖原始定義 等等會用到
1 π 2
C = ---- ∫ x *(cosnx + i sinnx) dx
n 2π -π
even even odd (消掉)
___ ______ _________
1 π 2
= ----∫ x * cosnx dx
2π -π
2 2 1 2x 2 π
= ---- [x --- sinnx + ---cosnx - --- sin nx] |
2π n n^2 n^3 0
___________ ____________
=0 =0
2 n
= --- (-1)
n^2
到這步應該都ok 接下來就是你說的問題的地方
n= 0
我們發現當n代0時 Co = ∞
會發生這種情況時通常都是even function(含有cosx函數時)時 Co特別要檢查
既然Co不存在
那就回去找原始定義
1 2 inπx/π
則C = ---∫ x * e
n 2π
1 π 2 1 1 3 1 2
n = 0 , C = ---- ∫ x dx = ---- * ---- * 2π = ---π
0 2π -π 2π 3 3
______#
以上 我一開始的定義式是n從 -∞~ ∞
n=0最後需要檢查
也有另一種定義 把Co抓出來單獨談
∞ inπx/L
f(x) = a + Σ C *e 此題L = π
0 n=-∞ n
n≠1
1 L
則a = ----∫ f(x)*1 dx
0 2L -L
兩種方法都可 .. 0.0
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