推 shareing:非常感謝你 06/20 15:31
※ 引述《shareing ( )》之銘言
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: 題目：
: 求exp(az)/cosh(z) 於 z = (pi/2)i 的留數 ?
: lim {(z-(pi/2)i)*exp(az)/cosh(z)}
: z->(pi/2)i
: =exp[a(pi/2)i]/sinh[(pi/2)i]
: 書上是這樣寫的，但是我不知道怎麼變的
: 懇請高手幫忙解釋
: 感謝
lim {(z-(pi/2)i)*exp(az)/cosh(z)}
z->(pi/2)i
此為一階極點留數之求法
由於分子分母同時趨近於 0
因此可使用 L'Hospital Rule
分子分母個別對 z 微分
分子微分為「前微後不微 + 前不微後微」後代值
可以發現「前微後不微」代值後即為 exp[a(pi/2)i]
而「前不微後微」代值後為 0
(因為後面微分後無論內容為何，都會乘以前面的[z-(pi/2)i])
而底下微分後代值結果即為 sinh[(pi/2)i]
這就是答案的由來
從這個例子也可以知道
要求一階極點的留數時
L'Hospital Rule 可以只對會為 0 的該項部份使用
而不需要全部相乘完之後再行微分
這對於某些乘項複雜的分式來說相當有用
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