Re: [理工] 一題複係數之Fourier series問題 ?

[mp8113f (丹楓)]

※ 引述《K7788 (桶三洨!!!)》之銘言：
:            ∞
: If f(x) =  Σ Cn*exp(inπx) , show that   1                2    ∞   2
:          n=-∞                          _____丨丨      丨丨  =  Σ Cn  .
:                                              丨丨 f(x) 丨丨    n=-∞
:                                           2L

你有忘記打到除L嗎

我就先假設你忘記打到 ...
先根據SL定理推導出來的傅立葉復係數級數 在 -L~L之間正交

              2                        2
又範數||f(x)|| = < f(x),f(x) > = ∫f(x) dx

所以讓我想到了Parseval identity

                   ∞
∫f(x)*f(x)dx = ∫ Σ C * exp(inπx/L)*f(x) dx
                  -∞  n

          1         -inπx/L     1         -inπx/L
其中 C = ---< f(x),e        > = --- ∫f(x)*e        dx
      n   2L                     2L
    ___                         ______________________
                                  ↑
　　　　　　　　　　　　　　　　　↓比對一下
      2      ∞
∫f(x) dx =  Σ C   ∫ exp(inπx/L)*f(x) dx
            -∞  n  ________________________


             -inπx/L           inπx/L
會發現∫f(x)*e     dx = ∫f(x)*e    dx  =  2L * C
                                                 n

原因為何 ?
   ix
  e   =  cosx + i*sinx
   -ix
  e   =  cosx - i*sinx

積分區間從-L~L    表示odd function為0
exp的正負號不影響

 1          2    ∞  2
----||f(x)||  =  Σ C
 2L             -∞  n
_________________________#  得證

如有錯 高手請不吝指教  謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 125.224.64.110
推 K7788:f(x)^2是怎麼出來的
→ kenblues:Parserval 恆等試那邊開始!!
推 K7788:我的意思是∫f(x)^2 dx = 丨丨f(x)丨丨^2  =>怎麼出來的
→ mp8113f:兩邊同乘f(x) 再積分 Parseval identity
→ mp8113f:我想你問的是 你不知道怎來的 那是範數的定義 課本會有
※ 編輯: mp8113f         來自: 125.224.67.216       (06/21 13:12)
→ mp8113f:我剛剛漏打一個平方..sorry   更正了
推 K7788:了解 感謝回答