Re: [理工] [工數]Wronskian判別

[Rain0224 (深語)]

※ 引述《skyghostlove ((City Hunter))》之銘言：
: 安安
: 題目:
: 討論x,|x|(每一個 x 屬於[-1,1]\{0})是否線性獨立?
: 以下為解題過程:
: SOL:      W(x,|x|)=| x   |x| |=0
:                    |         |
:                    |         |
:                    |     |x| |
:                    | 1  ── |
:                    |      x  |
:     C1x + C2|x|=0
:     C1=C2=0
:     故線性獨立.
: 問題是|X|一次微分後的結果=  |X|
:                            ───
:                              X
: 這步驟看不太懂,請教各位高手
: 謝謝

令|x| = √(x^2)，利用簡單的微分法則即可求出 d|x|/dx。

以下是題目作法：

由基本定義知：
C1x + C2|x| = 0
若僅在C1 = C2 = 0 時滿足上式，則稱｛x,|x|｝為線性獨立。

式子裡一共有C1、C2兩個未知數，式子必須滿足題目的條件，既然如此，
我們就從題目所規定的定義區間內進行討論。

x屬於[-1,1]\{0}：
當 x > 0 時，則
            C1x + C2x = 0
            x(C1 + C2) = 0   ......(1)
若 x < 0 時，則
            C1x + C2(-x) = 0
            x(C1 - C2) = 0 ......(2)

所以，  (C1 + C2) = 0
      ｛
        (C1 - C2) = 0

兩式聯立，可得 C1 = C2 = 0，
故可知｛x,|x|｝在[-1,1]\{0} 為線性獨立。

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另外，若要使用Wronskian行列式的定理求解，必須注意原定理的陳述為：

若 W(u1,u2,...,un) ≠ 0，則｛u1,u2,...,un｝為線性獨立。

                   (若p，則q)

用不同的顏色，是要強調前題和結論的順序。

此命題的等價命題為：

若｛u1,u2,...,un｝為線性相依，則 W(u1,u2,...,un) ＝ 0。

                        (若~q，則~p)

注意，不要因為語句陳述上的感覺很相似，就把前題和結論相互混淆了，
這樣直接作推論是很容易發生錯誤的。

如上題，若因為 W(x, |x|) = 0 就下判斷，以為｛x,|x|｝為線性相依就錯了。

其他的例子：

令A,B為n*n的方陣。
命題：若A=0或B=0，則AB=0。

但不能倒過來推論說：若AB=0，則A=0或B=0。 ←這是錯誤的!

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◆ From: 218.210.167.83
※ 編輯: Rain0224        來自: 218.210.167.83       (06/24 06:23)
※ 編輯: Rain0224        來自: 218.210.167.83       (06/24 06:24)
推 mp8113f:我混淆了 定理不就是抓c1和c2後面的根下去做wroskian ?
→ mp8113f:和c1 c2是隔開的 如果wroskian等於0 不是相依嗎= = '
→ mp8113f:所以r大的意思是 wroskian判斷為0 不一定是相依嗎 ?
是的，我還是再回一篇文好了 @@
→ mp8113f:另外他題目直接給wroskian=0 那是錯的嗎 會有四種情況吧
→ mp8113f:恩 四樓沒錯 我誤會了 主要是前三行我有疑問  3QY
※ 編輯: Rain0224        來自: 218.210.167.83       (06/24 08:29)
推 endlesschaos:直接挑數字的證法很不嚴謹吧  函數的線性獨立跟函數
→ endlesschaos:值是兩回事  而且 Wronskain 也跟 C1、C2 沒有關聯
我有在學校的助教給的作業解答上看過類似題，是直接代數字求解係數，
不過特意挑數字代入確實會給人覺得這是特例，且不嚴謹的感覺，
我修改一下解題過程
→ Rain0224:Wronskian和C1、C2沒有關係沒錯，這是直接用基本定義求解
※ 編輯: Rain0224        來自: 218.210.167.83       (06/24 11:09)
→ ntust661:Normal 2nd O.D.E.
→ ntust661:a(x) y'' + b(x) y' + c(x) y = 0
→ ntust661: p < x < q
→ ntust661:a(x) , b(x) , c(x) , 皆在 p < x < q
→ ntust661:連續
→ ntust661:則此若 x = u 在 (p,q)
推 ntust661:方程式的解 y1 y2 的 Wronskian W(y1(u),y2(u)) ≠ 0
→ ntust661:則對於任何一個 x 範圍 p < x < q 的 W(x) 都不為零
→ sneak: 另外他題目直接給wro https://daxiv.com