Re: [理工] [工數]Wronskian判別

[endlesschaos (佐佐木信二)]

欲證明 u1(x) , u2(x) , ... , un(x) 在 (a,b) 內是否線性相關

需視能否找到 n 個 不全部為零之常數 C1 , C2 , ... , Cn

使得 C1u1(x) + C2u2(x) + ... + Cnun(x) = 0 ............(a)

將 (a) 式逐次微分，得另外 n-1 個方程式：


C1u1'(x) + C2u2'(x) + ... + Cnun'(x) = 0 ............(b)

C1u1"(x) + C2u2"(x) + ... + Cnun"(x) = 0 ............(c)

                           .
                           .
                           .
    (n-1)          (n-1)                (n-1)
C1u1     (x) + C2u2     (x) + ... + Cnun     (x) = 0 ............(n)


式 (a) , (b) , ... , (n) 可用矩陣表示


┌                            ┐┌  ┐
｜ u1       u2  ...... un     ｜｜C1｜
｜                            ｜｜  ｜
｜ u1'      u2' ...... un'    ｜｜C2｜
｜  .        .          .     ｜｜ .｜
｜  .        .          .     ｜｜ .｜ = 0 ............(n+1)
｜  .        .          .     ｜｜ .｜
｜   (n-1)    (n-1)      (n-1)｜｜  ｜
｜ u1       u2  ...... un     ｜｜Cn｜
└                            ┘└  ┘

由式 (n+1) 知

                            ｜u1       u2  ...... un     ｜
                            ｜                           ｜
                            ｜u1'      u2' ...... un'    ｜
                            ｜ .        .  .             ｜
當 W(u1 , u2 , ... , un) ＝ ｜ .        .    .           ｜ = f(x) ≠ 0
                            ｜ .        .      .         ｜
                            ｜  (n-1)    (n-1)      (n-1)｜
                            ｜u1       u2  ...... un     ｜


則 C1 = C2 = ... = Cn = 0


u1(x) , u2(x) , ... , un(x) 在 (a,b) 內線性獨立


                            ｜u1       u2  ...... un     ｜
                            ｜                           ｜
                            ｜u1'      u2' ...... un'    ｜
                            ｜ .        .  .             ｜
當 W(u1 , u2 , ... , un) ＝ ｜ .        .    .           ｜ = 0
                            ｜ .        .      .         ｜
                            ｜  (n-1)    (n-1)      (n-1)｜
                            ｜u1       u2  ...... un     ｜


則 C1 , C2 , ... , Cn 有非零解

u1(x) , u2(x) , ... , un(x) 在 (a,b) 內線性相關。


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參考資料： 周易 - 工程數學寫真秘笈(上) P.79 - P.80



你代值所代出來的是「函數值」而非「函數」

所以代值解出來的 C1 、 C2 剛好等於零無法證明任何事

天曉得你是不是剛好代到一個恰巧讓它們等於零的值罷了


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 114.34.133.34
推 mp8113f:我也是用此方法判斷 這樣判斷是零所以相依 錯的嗎?
→ doom8199:後面的結論不太對吧。 W(u1,u2)=0 for all x in (a,b)
→ doom8199:不代表 u1(x) 和 u2(x) 在 (a,b) 上線性相依
→ doom8199:因為不同的 x in (a,b) ,可能會對應不同非0解的 (C1,C2)
→ doom8199:可是線性相依的要求是 非0解的 (C1,C2) 要是 unique
→ endlesschaos:「線性相依」和「線性獨立」是定義在「函數」而不是
→ endlesschaos:「函數值」上喔  所以沒有什麼「不同的 x in (a,b)」
→ endlesschaos:這種問題  另外 W = 0 時  C1、C2全為零也是一種解
→ endlesschaos:但線性相依的條件是「只要存在任何不全為零的C1~Cn使
→ endlesschaos:得等號成立」即可  所以只要找到一組存在就相依了
推 doom8199:那若 x 和 |x| 在 (-1,1)\{0} 上 是線性相依
→ doom8199:可以問一下 (c1,c2) = ?  會使得 c1*x + c2*|x| = 0
→ endlesschaos:你可以解它的 eigenvalue 找[C1 C2]^T = eigenvector
→ endlesschaos:但我不確定我在短時間內可以立刻算出來...
→ endlesschaos:對於我來說  原命題特意扣掉{0}是為了去除不可微分點
→ endlesschaos:好讓 Wronskian 成立  但在 Rain 大的式子裡面則是為
→ endlesschaos:了避免 x(C1 + C2) = 0 有 C1、C2 不全為零的解
→ doom8199:這樣說好了。 x 和 |x| 在 (0,1) 上 是線性相依
→ doom8199:x 和 |x| 在 (-1,0) 上 是線性相依
→ doom8199:但是 x 和 |x| 在 (-1,0)union(0,1) 上 卻是線性獨立
→ endlesschaos:那就要看 Wronskian 的微分結果是否在兩個區間都適用
→ endlesschaos:歹勢現在有一些急事  晚點再回～～
→ doom8199:恩恩，我順便po一下我的看法
推 Rain0224:如doom8199大所提的，函數的定義區間會影響其相依或獨立
→ Rain0224:性，原題也可以用圖形來判斷，在坐標平面上畫出x和|x|的
→ Rain0224:圖形，可以迅速判斷出兩函數是彼此獨立的，即使考慮到x=0
→ Rain0224:這個點也是成立的，因為求出來的係數C1、C2一定要同時滿
→ Rain0224:足定義區間I內的所有點
→ Rain0224:函數的定義區間是有意義的
推 mp8113f:感謝R大和d大的詳細解說  ^^
→ sneak: 可以問一下 (c1,c https://daxiv.com