Re: [理工] [工數]Wronskian判別

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

    首先提一下何謂 函數


    函數它是一種 mapping 關係，並非文中提到的 x，也非 |x|

    所以一般定義函數的時候

　　一定會先定義兩個集合 A、B , 分別叫 domain 和 codomain



    而接著連結 A 和 B 間的元素

　　這種連接的方式就稱做函數 (一般記為 f)

    一般符號會寫成:  f: A→B



　　所以

　　直接問 " x 和 |x| 是否為線性獨立 " 基本上是沒啥意義

　　因為函數中 domain 和 codomain 皆未描述清楚

　　不過一般遇到的問題

　　都會把 domain 假設為 well defined 的所屬區間

　　而 codomain 視為 range


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    有了這基本的認知後

    那就回顧一下"線性獨立"的定義:

      A family of vectors is linearly independent if none of them
      can be written as a linear combination of finitely many other 
      vectors in the collection.

      A family of vectors which is not linearly independent is called 
      linearly dependent.

                                         ( 擷取自 Wikipedia )


　　例如說:

    考慮 ┌ v1 = [ 1, 2]^T
　　　　 └ v2 = [ -1, -2]^T

    v1 和 v2 可以根據上面的定義知道是線性相依

　　因為  v1 = -v2     or   v1 + v2 = 0
                                     ─
                                 (zero vector)



    現在我想要做一件事情

　　就是把 v1 和 v2 用"函數對應"來描述它們



　　考慮三個集合  A = { m, n }
                  B = { 1, 2 }
                  C = { -1, -2}

    並且分別定義兩個函數  f: A→B  , 其規則如下:
                          g: A→C

       ┌ f(m) = 1   、 ┌ g(m) = -1
       └ f(n) = 2　　　└ g(n) = -2


    所以我們可以說  f(x) 和 g(x) 在 x屬於A 下是線性相依

                    因為 f(x) + g(x) = 0  for all x 屬於 A



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    回到最原始的問題:

      "  x 和 |x|  在  x屬於 (-1,1)\{0} 下　是否線性獨立  "

　　雖然上面描述的函數對應並非是 discrete case

    但可以把它想成是背後好像有兩個 vectors v1 和 v2 存在於無窮多維度空間

　　吾人想問 v1 和 v2 是否為線性獨立



    某個程度上來說

　　這個問題有點像是在問:  v1 = [ -1, 1]^T
                           v2 = [ 1, 1]^T

    兩者是否線性獨立?



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※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.211.136      (06/24 19:40)
推 Rain0224:我查原文書後，看見有提到原題的｛x,|x|｝在(-∞,∞) 內
→ Rain0224:是線性獨立的，但並非是用方程式求解，而是作圖，以圖形
→ Rain0224:形作判斷，有趣的是書上並沒把x=0這個點剔除掉
→ Rain0224:用圖形作判斷，應該隱含了可以代數字進去作判斷的意思
→ doom8199:我覺得題目把{0}移掉只是想說明 W(u1,u2)在 A上等於 0
→ doom8199:不代表 u1 和 u2 在 A 上線性相依