Re: [理工] PDE問題?????

[mp8113f (丹楓)]

※ 引述《K7788 (桶三洨!!!)》之銘言：
: ※ 引述《mp8113f (丹楓)》之銘言：
: : 我幫你接續問
: : 關於這題其實我也不是很確定
: : PDE對我來說有點生疏 ..
: : 還請高手幫忙訂正或接續  內容沒有解出答案
: :                         ∞   -iωx
: : define U = F[u(x,t)] = ∫ u*e     dx
: :                        -∞
: : F[u ] = F [u  ] + F[δ(x)δ(t)]
: :    t        xx
: :               2
: :  d           d u
: : ---F[u] = F[------]   +  F[δ(x)δ(t)]
: :  dt          dx^2  t=c
: :        2
: : U' + ω t = δ(t)
: :           2
: :        -ω t       1
: : U = C e       + ------ δ(t)
: :      1          D+ω^2             2       2
: :                 ___________     -ω t    ω t
: :                            ↖　e     ∫ e    * δ(t) dt
: :                                      __________________
: :                                      關於此部分 δ(t)使exp變為1
: :                                      則∫δ(t) dt = H(t)
: :                                ＿_______________________________
: :                                ｜    關於以上　 我不知是否嚴謹 ｜
: :                                ｜    盲點1所在　　　　　　　　 ｜
: : 　　　　　　　　　　　　　　　 ｜＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿｜
: :           2        2
: :        -ω t    -ω t
: :   = C e      + e     *H(t)        then H(t) is unit step function
: :      1
: : By condition  u(x,0) = δ(x) use fourier transform
: :               U(ω,0) = 1
: : 帶入得 U = C + 0 = 1    因為帶入t=0 會產生H(0)的情況
: :             1           這個以前沒碰過 是否帶入之後為0 ?
: :                         盲點2
: : 再來即使解出來
: :              2         2
: :           -ω t     -ω t
: :     U  = e      +  e       * H(t)
: :     use Fourier inverse transform
: :     好像還是得不到答案
: : 以上我自己的問題  盲點1  和  2
: : 再來此題該如何解  有沒有其他方法有請各位高手提供
: 因為  F[e^(-ax^2)] = √(π/a) * e^(-w^2/4a)
: 比較係數後應該會對
: e^(-w^2/4a) 與 e(-w^2/t)比較係數後 a=1/4t
: 再把√(π/a)除到左邊  將a帶入1/4t
: 得到1/√(4πt) * e^(-x^2/4t)
: 整理後 1/2π √(π/t) * e^(-x^2/4t)
: 同理後項 1/2π √(π/t) * e^(-x^2/4t) * H(t)
:                                        _____
:                                        多乘上H(t)項，與積分變數無關


    use inverse Fourier transform

                              2         2
: :                    ∞  -ω t     -ω t             iωx
: :     u(t)=(1/2π)  ∫ [e      +  e       * H(t)] * e     * dω
                      -∞
                            2
                    ∞   -ω t     iωx
          =(1/2π) ∫   e     *  e      dω  +  .....
                    -∞
           ________________________________
                                            2
                                         (-x /4t)
            ↑這個會 = (1/2π)*(√π/t)*e
              我為什麼會看不出來  ...
              鬼檔牆了 ....

              剛剛忽然清醒的感覺  我繼續做下去
                             2
                      ∞  -ω t
          =(1/2π)  2∫  e      cosωx dω
                      -∞
--                  _____________________                2
                                              ______  (-x / 4t)
                                         ↖ √π/t  *e


           終於有了  ...

           故答案為               2
                       ____    (-x / 4t)
       u(t) = (1/2π)√π/t * e        *  [1+H(t)]
                     ________________________________#

           不過盲點的地方還需要有人指證  ...感恩






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◆ From: 125.224.65.139
※ 編輯: mp8113f         來自: 125.224.65.139       (07/04 22:20)
※ 編輯: mp8113f         來自: 125.224.65.139       (07/04 22:22)
推 K7788:原式的那個1/2π跟答案出來那個1/2π是不同個喔
→ mp8113f:反轉換前面會有一個1/2pi 我根據定義轉 轉不出答案
推 K7788:反轉換完是 "1/√(4πt)"  分母提出2π 根號分子多一個π
→ K7788:你應該是卡在這
→ mp8113f:你可以根據我這篇的反轉換 接後續嗎 ? 這樣講很難懂 0.0..
※ 編輯: mp8113f         來自: 125.224.65.139       (07/04 23:03)
→ mp8113f:OK我修正了 ..不過盲點的地方還有待釐清  ..
推 K7788:你接續那地方有些打錯 qq  不過基本上這只是係數把你搞亂
→ K7788:不過這題真的比較像在考純數的問題  跟pde沒啥關係XD
※ 編輯: mp8113f         來自: 125.224.65.139       (07/04 23:35)
→ mp8113f:恩 變數要很小心 ..怎麼FT和IFT轉出來的形式那麼像 ...