推 mp8113f:辛苦了 ...邊界條件非常爛= = 07/31 00:58
推 Frobenius:推～ 09/19 07:12
※ 引述《mp8113f (丹楓)》之銘言：
: 標題: Re: [理工] [工數] 二階變係數ODE
: 時間: Sat Jul 30 21:08:53 2011
:
: ※ 引述《oopk741852 (阿健)》之銘言：
: : y"+(2/x)y'=(k^2)y , k為常數
: : y'(0)=0 , y(1)=1
: : 我把教科書的方法走過一遍
: : 還是不知道該怎麼做
:
: 2
: xy'' + y'+ y' = k * xy
: 2
: ( xy')' + y' = k * xy
: 2
: (xy'+y)' = k * xy
:
: 2
: (xy)'' - k xy = 0 ___視為xy的二階線性
:
: kx -kx
: xy = c1*e + c2*e
:
: 1 kx -kx
: y= ---[c1*e + c2*e ]
: x
:
: 之後帶入題目初值即可
: 這任務就交給你了...
: 有錯的話請指證
:
: --
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: ◆ From: 125.224.75.141
: 推 ntust661:推^^ 07/30 21:50
: 推 kimkimkimkim:拆成兩項很難看出來XD 07/30 21:57
: → mp8113f:大概我運氣好 第一眼就看到了吧 XD 07/30 21:59
: → mp8113f:用Laplace應該也是可以算出來 07/30 22:05
: 推 a202052003:@@另解:令P＝2/X,Q=-k^2 07/30 22:29
: → a202052003:Q-(1/2)P'-(1/4)P^2=-k^2 (等於常數) 07/30 22:30
: → a202052003:令u＝exp(-1/2∫Pdx)=1/x 07/30 22:31
: → a202052003:y=uv帶回原式可得：V"-k^2V=0 ,解常係數ODE 07/30 22:32
: → mp8113f:因變數變換 標準的經驗法則 不過我不太喜好背公式XD 07/30 22:33
: → a202052003:解出V，y=uv 07/30 22:33
: 推 jenny04546:我是用a大的方法 可是解出來是u=1/x 這樣要如何帶回原 07/30 23:58
: → jenny04546:式? 謝謝 07/30 23:58
y = uψ
2u' + Pu u''+Pu' + Qu
ψ'' + (─────) ψ' + (───────)ψ = 0
u u
2 -1
u'' = ── u' = ──
x^3 , x^2
2
P = ──
x
2
Q = -k
Test
2 2 2 1 2 1
── - ── + (-k )── = - k ──
x^3 x^3 x x
2
ψ'' - k ψ = 0
假設...k 只是單純的實數...
ψ = c1 coshkx + c2 sinhkx
1
y = ── [ c1 coshkx + c2 sinhkx ]
x
y'(0) = 0 詭異的B.C. ....
y(1) = 1
y(1) = c1 coshk + c2 sinhk = 1
1
y'(x) = ── [ k(c1 sinhkx + c2 coshkx ) - [c1 coshkx + c2 sinhkx ] ]
x^2
c1(ksinhkx-coshkx) + c2(kcoshkx-sinhkx)
lim y'(x) = lim ───────────────────── = 0
x→0 x→0 x^2
[coshk sinhk] [c1] [1]
[ ] [ ] = [ ]
[ -1 k ] [c2] [0]
k
c1 = ────────
kcoshk+sinhk
c2 ...
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