※ 引述《foodyoytk (元)》之銘言：
: 1
: 如題: 將------ 在z=0展開為Laurent級數，收斂區間為
: sinz
: pi<|Z|<2pi
: 拜託各位了= =
定義定義
∞ n
f(z) = Σ an z
-∞
1 1
an = ─── ∮ ──────── dz (for │n│ >= 0)
2πi c z^(n+1)sinz
c 是在複連通的區域內 π<│z│< 2π 內的任何一條簡單封閉曲線
由 Cauchy's theorem
1
─── ∮ F(z) dz = Σ Res{f,z}
2πi c c內
1 1
F(z) = ───── ─────
z^(n+1) sinz
z = 0 是 F(z) 的 n+2 階 pole
由定義下去作不好作
看積分式
1 1
an = ─── ∮ ──────── dz = ResF(0) + ResF(π) + ResF(-π)
2πi c z^(n+1)sinz
↓ ↓ ↓
bn cn dn
1 1 z 7 3
─── = ── + ── + ── z + ... (可用範圍 0 <│z│< π )
sinz z 6 360
1 z 7 3
── + ── + ── z + ...
1 z 6 360
bn = ─── ∮ ────────────── dz (c* 是圍著 z = 0 的curve)
2πi c* z^(n+1)
1 1 1 7 1
─── ∮ ──── + ─── + ─── ─── + ... dz
2πi c z^(n+2) 6 z^n 360 z^(n-2)
對於 n >= -1
才會有 Residue
3
∞ n 1 z z
∴ Σ bn z = ── + ── + ─── + ...
-∞ z 6 360
考慮 ResF(π) , z = π 是 F(z) 的 simple pole
1 P(z) 1 1
F(z) = ─────── = ─── , P(z) = ──── , Q(z) = ───
z^(n+1) sinz Q(z) z^(n+1) sinz
-1
ResF(π) = ──── = cn
π^(n+1)
考慮 ResF(-π) , z = -π 是 F(z) 的 simple pole
n+1
(-1)
ResF(-π) = - ──── = dn
π^(n+1)
∞ n 1
∴ Σ (bn + cn + dn) z = ───
-∞ sinz
n+1
1 z 7 2 ∞ 1 + (-1) n
= (── + ── + ─── z + ...) - Σ ───── z
z 6 360 -∞ π^(n+1)
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