Re: [理工] [線性代數]

[a81288653 (Bow)]

※ 引述《lai90043 (賴伯)》之銘言：
: 1.suppose the matrix A has eigenvalues 0,1,2 with eigenvectors
:   V0,V1,V2 , solve the following equation for X
:   (a)AX = V0
:   (b)AX = V1+V2
: 這題是要我求a.b是否成立嗎??
:                                         2    2
: 2.let T be a linear transformation for R to R that progects
:   any vector orthogonally onto the line L spanned by the
:                 T
:   vector [4   3] .
:   find the eigenvalue and their corresponding eigenvertor
:   for T.
:  第二題要怎麼下手?                   T
:  line L spanned by the vector [4   3] .←這句怎麼翻比較好?
<a>.

(1).先從特徵值及特徵向量的定義著手,

    若λ和v滿足Av=λv,其中v不可為0向量,則稱λ為特徵值,v為其對應之特徵向量

    因此,Av0=0、Av1=v1、Av2=2*v2

(2).合理假設A矩陣維度為3*3且運算於實數向量空間

    因為不同特徵值所對應到的特徵向量彼此線性獨立

    得{v0,v1,v2}可為R^3之一組basis

(3).由上述特徵值和特徵向量關係,可得range(A)=span{v1,2v2}

    再因v1、v2和v0線性獨立,得知v0並不在range(A)裡頭 ==> Ax=v0,x無解
                                                        ^^^^^^^^^^^
<b>.

一樣從特徵值和特徵向量彼此關係出發,Av0=0、Av1=v1、Av2=2*v2

逆向思考,x要怎麼湊才能湊到Ax=v1+v2呢?

當然是A(v1+0.5v2) = Av1+0.5*Av2 = v1+v2,但這只是其中一組特解

建議研究所考試答案寫通解會比較保險一點,這我在推文中忘記寫到

齊性解就是N(A)的basis也就是v0


最後答案 : x=k*v0+v1+0.5*v2,k為實數
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