Re: [理工] [工數] ODE

[mp8113f (丹楓)]

※ 引述《justwantyou (饅頭)》之銘言：
: 這題解到一半卡住...
:  solve xp^2 - 2yp + 4x =0     p=y'
: 　　　　　　xp   2x　　　　　　　
: 我移項成  y=－ + －
:              2    p
: 然後一起微分 p= p/2 + xdp/2dx + 2/p - (2x/p^2)dp/dx
: 整理>>>   0=(p/2 - 2/p)( 1+ xdp/dx)

 這邊我整理的似乎跟你有些出入
   1     2           dp
[ --- - --- ][p - x*----] =0
   2     p^2         dx
____________ ______________
     ↓                     ↘
解得p = ±2 = y'　　　　　　　↘　　
　　　　　　　　　　　　　　　　p =c2*x = y'

        xp    2x                        1   2
帶入y= --- + ---                y = c2*---*x + c3
        2     p                         2

負不合,故取正                   帶入原方程式
                                x(y')^2 - 2yy' +4x =0
y = 2x + c1
                                可解得c2*c3= 2
                                                     2
帶入原方程式                    配合你的答案取c2 = ----
x(y')^2 - 2yy' +4x =0                               c3
                                     1   2
得c1 = 0                        y = ---*x + c3
y= 2x 為一組特解                     c3
────────#                       2    2
                                c3*y = x + c3     c3 is constant = c

                                       2   2
                                c*y = x + c
                                ──────#
: 然後我就不會了~"~...想請問接著要怎麼處理
: 答案是 cy=x^2 + c^2
: 另外一個是解 y" + 4y = sin2t   y(0)=y'(0)=0
: 這題我算出來的答案怪怪的 想問一下解題的方法
: 謝謝大家~

這題看下來用Laplace最容易

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◆ From: 125.224.73.132
→ mp8113f:補充一下 ..將解帶回找係數 是因為一階只會有一個常數項
→ mp8113f:多出來的要把他們找出關係換掉
推 justwantyou:謝謝~
推 a202052003:有個疑問＠＠ 左邊為何負不合呢？
→ mp8113f:原本帶入以為負不合 0.0 剛看了一下發現也合
→ mp8113f:那左邊就會有特解±2x 了
推 a202052003:對了，上面那篇我的答案經整理也是原答案形式的解
→ a202052003:沒有算出特解（異解？），會怎樣嗎？改題方面
→ mp8113f:你的答案我是沒有帶入驗算看看 不過考試通常都會希望
→ mp8113f:寫成顯函數的形式,寫成隱函數不保險,除非是超越函數沒辦法
→ mp8113f:而你的答案好像都有c 如果c都消掉了 就不存在通解
→ mp8113f:算的過程中最好把每一個c都用編號隔開 再進一步整理
→ mp8113f:別把每個常數都視為同一個 這樣很危險  0.0
→ mp8113f:至於特解有沒有寫出來 ..最好是寫出來 ...0.0 "
→ mp8113f:我也是考生 ,改題方面不太清楚  =__+"  抱歉了
→ a202052003:我上面那篇有註明有個地方沒C，一開始打錯＠＠
→ a202052003:還有y=±2x 是屬於異解吧？特解不是從通解中求得的嗎？
→ mp8113f:對 抱歉我打太快 沒注意到
→ mp8113f:是異解  不是特解
→ sneak: 我上面那篇有註明有個地 https://daxiv.com