→ suker:4.經典題 你可以去找math版的精華區z-3-9 08/13 21:54
最近算了一些複變的題目，遇到某些問題，大部分都沒有解答，所以我也無法確定自己算
是不是正確的，還請各位大大幫忙看一下。
1.∮tan(z) dz ； c:|z|=2
這題我先拆成sine除cosine，本想換成指數形式，但算到一半就卡住；
後來想說把分母的cosine微分一次求殘值，因為z被限制為2以內，
所以只有π/2在範圍內，算出來的結果為「-2πi」，案情有這麼單純嗎？
2. ∞ 3x+2
∫ ------------- dx
-∞ x(x-4)(x^2+9)
奇點為0、4、±3i ，也是走分母微分一次的方法，
Resf(0)=-1/18；Resf(4)=7/50；Resf(3i)=72-54i；Resf(-3i)=72+54i
最後算起來是
7 1
2πi(--- - --- + 144 )
50 18
3. prove
3
z + 2z
∮ ------------------- dz = 0
5 2
(z-1) (z+2) (z+3)
一看到五階奇點都快吐了，所以打算呼龍一下，因為分子最高次方只有三次，
所以微分四次之後直接寫等於零(根本不打算微XD)，不知道這個想法是否可行？
但-2跟-3這兩個的奇點殘值，算出來相加又不會等於零，所以想請大家解惑。
4.
∞ 2
∫ cos(x )dx
0
√π
這題是Fresnel繞設積分式，算出來是 ----
2√2
這題小弟要問的是微積分問題，
2
∞ -r √π
∫ e dr = ---- ，這個要怎麼積？
0 2
5. z
e
∫ ------ dz ；g(z)=|z-0.5|= 1
g(z) 3
z - z
e
小弟算的答案是 2πi(--- - 1 )，不知道大家算的是不是這樣？
2
6.複數z平面之第一象限，經過 w = log z 之變換後，其在 w 平面上對應區域為何？
令 w = u + iv ； z = x + iy ，帶進去上面的關係式之後就立刻卡關，還請各位解惑。
7. 1
∫ --- dz
z
(1)c是以原點逆時針繞行的單位圓。
Resf(0)=1 所以答案是2πi，有這麼單純嗎？
(2)c是由點(1+i)延伸至點(2+4i)的直線。
令 z = x + iy 帶入之後一樣遇到微積分問題卡關算不出個答案，
路徑的部分 令 x=√t , y=t , t=1→4
8. z
ze
∮ ------------- dz ； c：|z+1| = 2
2
z + 2z + 2
這題很冷靜的就算出一個結果，可是不確定是否正確？
因為奇點是 -1±i，我比較少算到有 i 的奇點，所以算起來很不踏實。
我算的結果為：
(-1+i) (-1-i)
π[(-1+i)e +(1+i)e ]
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