Re: [理工] [工數]-一些複變問題

[ntust661 (XDeutesh)]

※ 引述《WOWWO (第一次PO文)》之銘言：
: 最近算了一些複變的題目，遇到某些問題，大部分都沒有解答，所以我也無法確定自己算
: 是不是正確的，還請各位大大幫忙看一下。
: 1.∮tan(z) dz ； c:|z|=2


            sinz      -f'(z)
    tanz = ──── = ───
            cosz       f(z)


    由 Argument principle


    2πi{ Z    -   P }

        零點數    極點數


    cosz 在  z = ±π/2 有零點


        -f'(z)
    ∮ ──── dz = -2πi{Z - P} = -4πi
     c   f(z)



: 這題我先拆成sine除cosine，本想換成指數形式，但算到一半就卡住；
: 後來想說把分母的cosine微分一次求殘值，因為z被限制為2以內，
: 所以只有π/2在範圍內，算出來的結果為「-2πi」，案情有這麼單純嗎？
: 2. ∞    3x+2
:   ∫  ------------- dx
:    -∞ x(x-4)(x^2+9)
: 奇點為0、4、±3i ，也是走分母微分一次的方法，
: Resf(0)=-1/18；Resf(4)=7/50；Resf(3i)=72-54i；Resf(-3i)=72+54i
: 最後算起來是
:       7      1
: 2πi(--- -  --- + 144 )
:      50     18


   實數積分不可能有 i


   x = 0 , x = 4 , x = ±3i 有一階極點唷!



   πi{ Resf(0) + Resf(4) } + 2πi{ Resf(3i) }


                 1
   Resf(0) =  ───
               -18

               7
   Resf(4) = ────
               50

                  9i+2          (9i+2)(3i+4)        -27+8+(36+6)i
   Resf(3i) = ─────── = ───────── = ───────
               (3i-4)(3i)6i      -25*-18               450



                                                     -38 + 84i
                                                  = ───────
                                                        900

                                                      84i     38
                                                  = ─── - ───
                                                     900      900

             84i       -84π      -42π
   解 2πi{───} = ──── = ────
            900        450        225
: 3. prove
:            3
:           z  + 2z
:   ∮ ------------------- dz = 0
:            5     2
:       (z-1) (z+2) (z+3)

      C 是?....


: 一看到五階奇點都快吐了，所以打算呼龍一下，因為分子最高次方只有三次，
: 所以微分四次之後直接寫等於零(根本不打算微XD)，不知道這個想法是否可行？
: 但-2跟-3這兩個的奇點殘值，算出來相加又不會等於零，所以想請大家解惑。
: 4.
:     ∞      2
:    ∫  cos(x )dx
:     0
:                                   √π
: 這題是Fresnel繞射積分式，算出來是 ----
:                                   2√2
: 這題小弟要問的是微積分問題，
:         2
:  ∞   -r       √π
: ∫   e    dr = ----    ，這個要怎麼積？
:  0              2

             2
       ∞  -x
   令 ∫  e   dx = I
       0

                    2   2
    2     ∞∞   -(x + y )
   I   = ∫∫   e         dx dy
          0 0


   接下來利用極座標就好了



: 5.            z
:              e
:   ∫      ------ dz ；g(z)=|z-0.5|= 1
:    g(z)     3
:            z - z
:                       e
: 小弟算的答案是  2πi(--- - 1 )，不知道大家算的是不是這樣？
:                       2


                z
               e
    f(z) = ───── 有 z = 0 , z = 1 , z = -1 三個一階極點
            z^3 - z


    z = 0.5 為圓心半徑為 1 有包到 z = 0 , z = 1 兩個Poles



    Resf(0) =  -1


               e
    Resf(1) = ──
               2

    你的答案沒有錯



: 6.複數z平面之第一象限，經過 w = log z 之變換後，其在 w 平面上對應區域為何？
: 令 w = u + iv ； z = x + iy ，帶進去上面的關係式之後就立刻卡關，還請各位解惑。
: 7.     1
:    ∫ --- dz
:        z
: (1)c是以原點逆時針繞行的單位圓。
: Resf(0)=1 所以答案是2πi，有這麼單純嗎？


 不然呢?@@


: (2)c是由點(1+i)延伸至點(2+4i)的直線。
: 令 z = x + iy 帶入之後一樣遇到微積分問題卡關算不出個答案，
: 路徑的部分 令 x=√t , y=t , t=1→4


        1
  因為 ── 除了 z = 0 不解析，而 (1 + i) 延伸到 (2 + 4i) 不會通過 z = 0
        z

      1
  故 ── 為解析函數
      z


        │2+4i
   ln z │     =  ln(2+4i) - ln(1+i)
        │1+i

                                           -1         -1
               =  ln(√20) - ln√2 + i{ tan  (2) - tan  (1) }




: 8.           z
:            ze
:   ∮  ------------- dz  ； c：|z+1| = 2
:          2
:         z  + 2z + 2
: 這題很冷靜的就算出一個結果，可是不確定是否正確？
: 因為奇點是 -1±i，我比較少算到有 i 的奇點，所以算起來很不踏實。
: 我算的結果為：
:          (-1+i)      (-1-i)
: π[(-1+i)e     +(1+i)e     ]



   z = -1 圓心 ，半徑 2


   極點 -1 ±i 看看會不會包到


   兩個都會包到，所以你對了


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推 Tall781218:1 4pi*i
推 Tall781218:阿看錯XD
推 Tall781218:第一提 零點和極點要看 cosine 吧?
※ 編輯: ntust661        來自: 122.122.221.97       (08/14 20:02)
→ doom8199:第七題算出來的結果沒有那個 k
→ ntust661:說的也是
※ 編輯: ntust661        來自: 122.122.217.41       (08/15 22:09)